Differenciálás és integráció: meghatározás, fogalom, formák

A differenciálás és az integráció olyan egyenlet, amely származékokat tartalmaz. Ez utóbbi, ha betartjuk a matematikai tulajdonságokat, mind a szokásos, mind a magánjellegű. A derivatívák a változás sebességét képviselik, a differenciálegyenlet pedig egy olyan mennyiség közötti kapcsolatot írja le, amely folyamatosan változik a megoldási folyamatban, Új változókat képezve.

Az egyetemi tanár könnyedén navigálhat a komplex műveletekben integrálokkal, átalakíthatja őket egy egészbe, majd inverz módszerrel bizonyíthatja a számítást. A komplex képletek részleteinek gyors felidézésének képessége azonban nem mindenki számára elérhető, ezért ajánlott frissíteni a memóriát vagy új anyagokat felfedezni.

Jelentés és fő alkalmazás

A tudományos szakirodalomban a származékot úgy definiáljuk, mint egy függvény átalakításának sebességét az egyik változója alapján. A differenciálás a kalkulus lényege, amely összehasonlítható egy pont érintőjének keresésének kezdetével. Mint tudják, az utóbbi különböző típusú, és számítási képleteket igényel a kereséshez. Tegyük fel, hogy meg kell találnia a gráf érintőjének meredekségét a P pontban. Hogyan kell csinálni? Elég, ha egy ív alakú csíkot rajzolunk a kijelölt tárgyon keresztül, és felemeljük, amíg egy osztott vonalat nem kapunk.

A függvény f ban ben x pontban differenciálhatónak nevezzük x = a ha a derivált f `(a) doménjének minden megnevezésén létezik. Mutassunk egy példát:

F ` (a) = lim (h=0) 6(a + h) – f(a)/h

Annak érdekében, hogy az egyenlet differenciálható és integrálható legyen, úgy, hogy annak helye az x bármely pontján lehetővé váljon, nem szabad megszakítani. Miután előre elkészített egy sematikus képet, ellenőrizheti a nyilatkozat érvényességét. Ez az oka annak, hogy az f `(x) tartományt a korlátai megléte határozza meg.

Tegyük fel, hogy y = f (x) függvénye x, akkor a derivált nak, - nek f(x) dy/dx. Lineáris egyenletként is definiálható, ahol meg kell találni a szükséges adatokat y.

Ha azonban az első esetben y deriváltját keressük, akkor a következőben meg kell találnunk f(x) tól től x.

d / dx (f(x)) la vagy df / dx la

Ezért az f(x) függvény változási sebességének jelölése x-hez viszonyítva a felületén fekvő a ponton.

Ha ismerünk egy deriváltot f ` amely differenciálható a tartományában, akkor megtalálhatjuk annak értékét f. Az integrálszámításban hívjuk f a függvény anti-deriváltja vagy primitívje f `. A számítási módszer az úgynevezett differenciálódás vagy integráció.

Típusok és formák

Az egy vagy több kifejezéssel rendelkező egyenletet, amely egy függő változó deriváltjait tartalmazza egy független felett, differenciálnak nevezzük. Más szavakkal, numerikus értékek halmazából áll, rendes vagy különös, változásokon megy keresztül a megoldási folyamatban.

Jelenleg a következő típusú differenciálegyenletek léteznek.

Rendes. Egyszerű egyenlőség, amely közvetlenül függ a változótól:

dy / dx + 5x = 5y

Parciális származékok:

dy / dx + dy / dt = x3-t3

d2I / dx2 – c2 × d2I / dt2

A senior koefficiens. Ezt a típust a differenciálegyenlet sorrendjében való részvétel jellemzi, amint az az alábbi példában látható, ahol 3. A számot a jelenlévők közül a legmagasabbnak tekintik:

d3I / dx2 + 5 (dy / dx + y = x)

A függvényeknek többféle típusa lehet, azonban célszerű egyetlen idézőjelet használni jellemző integrációs és differenciálási képletekkel.

y ` = dy / dx

y " = d2I / dx2

y "` = d3I / dx3

Lineáris. Az egyenletben megjelenő változó egy hatványára emelkedik. Az ilyen típusú függvény grafikonja általában egyenes. Például (3x + 5), de (x³ + 4x²) nem tartozik ebbe a típusba, mert más megoldást igényel.

dy / dx + xy = 5x

Nemlineáris. A sorozatok integrálása és megkülönböztetése az egyenlőség megszerzésének kettős módjaival – a vizsgált formához tartozik:

d2I / dx2- ln y = 10

Módszerek Az eredmények gyors eléréséhez

Nem elég figyelembe venni az űrlapot annak érdekében, hogy kitaláljuk, hogyan lehet megbirkózni a megszerzett tudással. Jelenleg ott számos módja van a megoldásnak a differenciálegyenlet.

Ez az:

1. Változó elválasztás. Végrehajtva, ha a példa ábrázolható dy / dx = f (y) g (x). A sajátosság az, hogy f és g az értékeikhez tartozó funkciók. Ennek következtében a feladatot át kell alakítani: 1 / f (y) dy = g (x) dx. Csak akkor lépjen a következő elemre.
2. Integráló faktor módszer. Akkor használják, ha a példa formája dy/ dx + p (x) y = q (x), ahol p és q csak X függvényei.

Az elsőrendű differenciálszámítások úgy néznek ki, mint y` + P (x) y = Q (x), mivel tartalmazzák a szükséges függvényeket és az y deriváltját. A név későbbi növekedése ugyanazon az elven működik. Például egy ismeretlen függvény származékai mind magán, mind rendes jellegűek lehetnek.

Határozatlan integrálok

Ha megkapja a kerékpár sebességét, amikor sétálni ment, az időtől függően-képes lesz-e kiszámítani a megtett távolságot az eltöltött percek adatai alapján? , ez a feladat elviselhetetlen tehernek tűnik, de az integrálok segítenek a lehető leghatékonyabban megbirkózni ezekkel a tulajdonságokkal, megkapva az eredményt.

A tudományos irodalom arra a tényre összpontosít, hogy ezek a differenciálás hátoldala. Valóban, az integráció a dolgok összeadásának módja. Összekapcsolja a darabokat, valami újat hozva létre – az egészet. A legfontosabb dolog minden hasonló példában az, hogy határozatlan integrálokat találjunk, és differenciálással ellenőrizzük az integráció eredményeit. Ez segít elkerülni a felesleges hibákat.

Ha bármilyen véletlenszerű görbe területét keresi, például y=f (x), akkor használja a kérdéses módszert. Ne feledje, hogy csak az éberség fogja megmenteni a hibát.

Megoldási képletek

Tehát, miután megismerkedtünk a differenciálás és az integráció alapkoncepciójával-inverz számítás a funkciókon keresztül, röviden meg kell vizsgálni néhány alapot. Az alábbiakban felsoroljuk őket.

A számítás alapvető szabályai

Az olyan integrált függvények, mint f(x), könnyen lefordíthatók egyenlőséggé, ha az egyenletet úgy ábrázoljuk: (x) DX = F (x) + C.

Itt F (x) anti-származéknak vagy primitívnek nevezzük. f (x) - integrand függvény. dx-kiegészítő numerikus ágensként működik. C egy integrált vagy tetszőleges állandó. x-az egyenlőség oldalától függően cselekszik.

A fenti állításból arra lehet következtetni, hogy a sorozatok integrálása és differenciálása két ellentétes folyamat egymástól. Együttesen az egyik olyan művelettípusként működnek, amelynek célja az egyenlet végeredményének megszerzése.

Most, hogy többet tudunk a kalkulus jellemzőiről, ajánlott kiemelni a domináns különbségeket, szükséges további megértés:

1. A differenciálás és az integráció egyszerre felel meg a linearitás szabályainak.
2. A műveletek célja a legpontosabb megoldás megtalálása, azonban meghatározásuk korlátait feltételezik.
3. Egy polinom példa megkülönböztetésekor az eredmény 1-gyel kevesebb, mint a függvény mértéke, míg integráció esetén az eredmény egy másikba alakul át, az ellenkező séma szerint.
4. A korábban említett kétféle megoldás ellentétes egymással. Ezeket integrációs és differenciálási képletekkel számítják ki.
5. Bármely függvény deriváltja egyedi, de másrészt két integrál egy példában állandóval eltérhet. Ez a szabály jelenti a fő nehézséget a feladatok végrehajtása során.
6. Amikor derivatívákkal foglalkozunk, a derivatívákat a ponton tekinthetjük meg. Majdnem, mint az integrálokban, intervallumon keresztül nyújtanak funkciókat.
7. Geometriai szempontból egy derivált leírja a mennyiség változásának sebességét a másikhoz képest, míg a határozatlan integrál egy görbét képvisel. Párhuzamos irányban van elrendezve, valamint érintői vannak az egyenetlen vonalak metszéspontjában másokkal, amelyek merőlegesek a változót képviselő tengelyre.

Hozzáadási módszerek

Ha szembesül azzal a problémával, hogy az összegzést hogyan alkalmazzák a differenciálás és az integráció matematikai műveleteire, gondosan meg kell ismerkednie az alapvető képletekkel. Ezek a tanítás axiómája, ezért mindenhol használják őket. Ne feledje, hogy az alkalmazás során a saját példáin a képletek csak akkor helyesek, ha i = 1-vel kezdődnek.

megoldás "részekben"

Néha egy funkció nem szabványos megközelítést igényel a végeredmény eléréséhez és az egyenlőségi feltételek teljesítéséhez. A sorozatok irányított integrációja és differenciálása az identitáson alapul, amely a következőképpen fejeződik ki: ∫ f(x) g`(x) dx = f(x) g(x) - ∫ f`(x) g(x) dx

A vizsgált technika algoritmusa így néz ki:

1. Integrált függvény kifejezése két kifejezés termékeként. Jelöljük az egyiket f (x), a másikat g `(x).
2. Most folytassa az első bekezdés végrehajtásakor alkalmazható másik két képlet azonosítását. A sor megváltozik. Differenciálással átalakítjuk f`(x) hogy megkapjuk az F(x)kifejezéseket. , Folytassa a másik részt-g (x) integrálva van g`(x). Ugyanakkor a dx eredeti formájában marad, és nem használják.
3. Helyezze be a kapott kifejezéseket a képletbe részekben. Ez az eljárás vége, de most megpróbálhatja értékelni az új integráltat a jobb oldalon, mivel sokkal könnyebb megérteni.

Korábban ez a módszer magában foglalta az alkatrészek integrálását mátrix segítségével. A módszer sikeres volt, de sok időt vett igénybe, mert most ritkábban használják, különleges esetekben, amikor szinte lehetetlen megoldást találni. Ehhez elegendő az f és g` - t az első sorba helyezni, az F ` és g-t pedig a másodikba számítani.

Miért van szükség integrációra az alkatrészekben?

A helyzetek másképp történnek. Néha a megoldások sokkal bonyolultabbak, mint első pillantásra. Ezért ki kell emelni azokat a fő problémákat, amelyek gyakran előfordulnak a teljesítménysorok lassú integrációjával és differenciálásával. Tekintsünk két alapvető szabályt.

Először is, az a rész, amelyet integrálni kívánunk, vagyis a g `(x) - hez kiválasztott részt, képesnek kell lennünk átalakítani. Fontos ezt megtenni amilyen gyorsan csak lehet. Az a tény, hogy a G komplex integrációja ritkán vezet jobb integrálhoz, növekvő összetettséghez. Mindez negatívan befolyásolja cselekedeteink szabadságát a döntések során, valamint a fokoktól, szinuszoktól és koszinuszoktól is függ. Hagyja, hogy a helyes válasz keresése időbe teljen, de a helyeshez vezet, nem pedig zavaró.

Másodszor, minden másnak, vagyis annak a résznek, amelyet meg akarunk különböztetni és jelölni F, észrevehetően ki kell emelkednie az átalakulás után. Egy egyszerű eljárás után észrevesszük, hogy az új integrál egyszerűbb lesz, mint az előd.

Tehát, ha két szabályt kombinálunk, és azt megoldjuk, akkor lehetőséget kapunk arra, hogy a hatalmi funkciók differenciálását és integrálását használjuk, amit érdemes részekben figyelembe venni.

Van egy módja az x eltávolításának is, amely lehetővé teszi a transzformációk hatékony használatát különböző helyzetekben. Például könnyen integrálhatjuk úgy, hogy megszorozzuk a függvényt egy polinommal, amelyet differenciálással csökkentünk.

∫ x2 sin (3x) dx

∫ x7 cos (x) dx

∫x4 e4x dx

Mint f, vesszük a X (általánosabban egy polinom), és használjuk g`. Nyilvánvaló, hogy minden differenciálás egy számmal csökkenti a szám mértékét, ezért ha a példában elég magas, akkor többször alkalmazza a lassú integrációt. Ez segít csökkenteni az időt.

Egyes egyenletek összetettsége

Ebben az esetben a hatalmi sorozatok differenciálásáról és integrálásáról beszélünk. A függvény úgy tekinthető, mintha x - a pontok konvergenciaintervallumának tartománya. A módszer azonban nem mindenki számára megfelelő. Az a tény, hogy bármely funkció hatalmi sorozat formájában fejezhető ki, lineáris struktúrává alakítva és fordítva.

Például, adott e_x. Kifejezhetjük egyenletként, ami valójában csak egy végtelen polinom. A teljesítménysorozatot kiszámítással könnyű észrevenni, de nem mindig hatékony.

Határozott integrál, mint az összeg határa

Nézze meg a következő grafikus integrációt és differenciálást.

Annak érdekében, hogy könnyen megértsük a komplex funkciót, elég alaposan megérteni. Becsüljük meg a prsqp területet az y = f(x) görbe, az x tengely és az "x = a" és "x = b"koordináták között. Most ossza meg az [A, b] intervallumot ` n ` egyenlő részintervallumokra ,a következőképpen jelölve: [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ]…. [xn - 1 , xn ].

Ahol x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2H, x3 = a + 3H.. .. xr = a + rh és xn = b = a + nh vagy n = (b-a) / h. (1). Vegye figyelembe, hogy az N 6 h 0.

A figyelembe vett tér PRSQP az összes "n" aldomain összege, ahol mindegyiket egy bizonyos középszerűség határozza meg [x_r-1 , x_r ], r = 1, 2, 3... n. A megfelelő megközelítéssel ezek a funkciók megkülönböztethetők és integrálhatók a gyors megoldás érdekében.

Most nézd meg az ABDM-et a képen. Ennek alapján tanácsos a következő megfigyelést tenni a területekről: (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).

Vegye figyelembe azt is, hogy h 0 vagy x esetén_r - x_r-1 6, mindhárom régió majdnem egyenlővé válik egymással. Ezért van:

sn = h [f (x0) + f (x1) + f (x2) + …. f (xn – 1)] = h r=0∑n–1 f (xr) (2)

vagy Sn = h [f (x1) + f (x2) + f (x3) + ... f (xn)] = h r=1∑n f (xr) (3)

Ebben az esetben, s_n és S_n jelölje az intervallumok fölé emelt összes alsó és felső téglalap területének összegét [x_r–1, x_r] mert r = 1, 2, 3,..., n rendre. Hogy ezt perspektívába helyezzük, az (1) egyenlet átírható:

sn< a terület területe (PRSQP) < Sn ... (4)

Ezenkívül feltételezzük, hogy a (2) és (3) határértékek mindkét esetben azonosak, és csak a görbe alatti terület közös. Ennek eredményeként van:

limn → ∞ Sn = limn → ∞ sn = területek PRSQP = ++ ab f (x) dx ... (5)

A terület egyben annak a térnek a határértéke is, amely a görbe alatti és a görbe feletti téglalapok között helyezkedik el. A kényelem érdekében figyeljen az ábra magasságához, amely megegyezik az egyes részintervallumok bal szélén lévő görbével. Ezért az egyenletet a végleges változatban írják át:

∫ab f (x) dx = limn → ∞ h [f(a) + f(a + h) + …. + f (A + {n – 1}h)]

vagy ∫ab f (x) dx = (b-a) limn → ∞ (1 / n) [f ( a) + f (a + h) + …. + f (A + {n – 1}h)]

Következtetés

A differenciálás és az integráció számos tulajdonsággal, képlettel és ellentétes változással különbözik egymástól. Segítség nélkül nem lehet átalakulni egy másikba. Ha a differenciálás segít megtalálni a származékot, akkor az integráció teljesen más műveletet hajt végre. Egyes részeket hozzáad, képes segíteni a fokozatokban azáltal, hogy lerövidíti őket, vagy egyszerűsíti a példát.

Azt is használják hogy ellenőrizze differenciált egyenletek. Más szavakkal, egyetlen egészként működnek, amelyek nem létezhetnek külön-külön, mert kiegészítik egymást. A szabályok alkalmazása, sok technika ismerete, most garantáltan megoldja a komplex problémákat.