Tartalom
A geometriában egy pont után az egyenes talán a legegyszerűbb elem. Ezt alkalmazzák az építőiparban a komplex formák a síkban és a háromdimenziós térben. Ebben a cikkben megvizsgáljuk az egyenes általános egyenletét, és megoldunk néhány problémát. Kezdjük el!
Egyenes vonal a geometriában
![Ellentétes vektorvezetők](https://cdn2.faqukr.com/fimg/obshhee-uravnenie-prjamoj-na-ploskosti-v-prostran_2.webp)
Mindenki tudja, hogy az olyan alakzatok, mint a téglalap, háromszög, prizma, kocka stb., metsző egyenes vonalakkal vannak kialakítva. A geometria egyenes vonalát egydimenziós objektumnak tekintik, amelyet úgy lehet elérni, hogy egy bizonyos pontot egy azonos vagy ellentétes irányú vektorra továbbítunk. Ennek a meghatározásnak a jobb megértése érdekében képzelje el, hogy van valamilyen P pont az űrben. Vegyünk egy tetszőleges vektort u ebben a térben. Ezután az egyenes bármely Q pontja a következő matematikai műveletek eredményeként érhető el:
Q = P + ons * u.
Itt a ++ egy tetszőleges szám, amely lehet pozitív és negatív. Ha a fenti egyenlőséget koordinátákkal írjuk, akkor a következő egyenletet kapjuk:
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + 6 (A, b, c).
Ezt az egyenlőséget egy egyenes egyenletének nevezzük vektor formában. Az u vektort pedig útmutatónak hívják.
A sík egyenes vonalának általános egyenlete
Minden hallgató nehézségek nélkül képes lesz leírni. De leggyakrabban az egyenlet így van írva:
y = k * x + b.
Ahol k és b tetszőleges számok. A B számot szabad tagnak hívják. A K paraméter megegyezik az egyenes vonalnak az abszcissza tengellyel való metszéspontja által alkotott szög érintőjével.
A fenti egyenletet az y változóhoz viszonyítva fejezzük ki. Ha általánosabb formában jelenik meg, akkor a következő írásformát kapjuk:
A * x + B * y + C = 0.
Nem nehéz megmutatni, hogy az egyenes vonal általános egyenletének ilyen formája egy síkban könnyen átalakítható az előző formába. Ehhez a bal és a jobb részeket el kell osztani a B együtthatóval és Y-t kell kifejezni.
![Egyenes vonal egy síkban](https://cdn2.faqukr.com/fimg/obshhee-uravnenie-prjamoj-na-ploskosti-v-prostran_3.webp)
A fenti ábra két ponton áthaladó egyenes vonalat mutat.
Egyenes vonal a háromdimenziós térben
Folytassuk tanulmányunkat. Megvizsgáltuk azt a kérdést, hogy az egyenes egyenlet egy síkon általános formában van megadva. Ha a cikk előző bekezdésében megadott felvételi űrlapot alkalmazzuk a térbeli esetre, mit kapunk? Ez egyszerű - Már nem egyenes, hanem sík. Valójában a következő kifejezés egy síkot ír le, amely párhuzamos a z tengellyel:
A * x + B * y + C = 0.
Ha C=0, akkor egy ilyen sík áthalad a z tengelyen. Ez egy fontos funkció.
Akkor mi a helyzet az egyenes vonal általános egyenletével a térben? Ahhoz, hogy megértsük, hogyan kell megkérdezni, emlékeznie kell valamire. Két sík metszi egy bizonyos egyenes vonal mentén. Mit jelent ez? Csak, hogy a tábornok az egyenlet a síkok két egyenletrendszerének megoldásának eredménye. Írjuk ezt a rendszert:
- A1* x + B1* y + C1* z + D1= 0;
- A2* x + B2* y + C2* z + D2= 0.
Ez a rendszer egy egyenes vonal általános egyenlete a térben. Vegye figyelembe, hogy a síkok nem lehetnek párhuzamosak egymással, vagyis normál vektoraiknak bizonyos szögben kell hajlaniuk egymáshoz képest. Ellenkező esetben a rendszernek nincs megoldása.
![Metszés egy egyenes síkban](https://cdn2.faqukr.com/fimg/obshhee-uravnenie-prjamoj-na-ploskosti-v-prostran_4.webp)
A fentiekben megadtuk az egyenlet írásának vektor formáját egy egyenes vonalra. Kényelmes használni a rendszer megoldásakor. Ehhez először meg kell találnia ezeknek a síkoknak a normál szorzatát. Ennek a műveletnek az eredménye a vonal vezető vektora lesz. Ezután ki kell számítania az egyenes vonalhoz tartozó bármely pontot. Ehhez meg kell adnia a változók bármelyikét, amely megegyezik egy bizonyos értékkel, a két fennmaradó változó megtalálható a fenti rendszer megoldásával.
Hogyan lehet lefordítani egy vektoros egyenletet egy általánosra? Nuances
![Egyenes vonal az űrben](https://cdn2.faqukr.com/fimg/obshhee-uravnenie-prjamoj-na-ploskosti-v-prostran_5.webp)
Ez egy tényleges probléma, amely akkor merülhet fel, ha egy egyenes általános egyenletét kell írni két pont ismert koordinátáival. Mutassuk meg, hogyan oldja meg ezt a problémát egy példa. Legyen ismert két pont koordinátái:
- P = (x1, y1);
- Q = (x2, y2).
Az egyenlet vektor formában meglehetősen egyszerű. A vezető vektor koordinátái egyenlőek:
PQ = (x2-x1, y2-y1).
Vegye figyelembe, hogy nincs különbség, ha a P pont koordinátáit kivonjuk a Q koordinátáiból, a vektor csak az ellenkezőjére változtatja irányát. Most minden pontot meg kell írnunk a vektoros egyenletet:
(x, y) = (x1, y1) + ons * (x2-x1, y2-y1).
Az egyenes általános egyenletének megírásához a paramétert mindkét esetben ki kell fejezni. Ezután egyenlítse ki a kapott eredményeket. Van:
x = x1+ 6 (x)2-x1) => argentinok = (x-x1) / (x2-x1);
y = y1+ 6 (év)2-y1) => onlin = (y-y1) / (y2-y1) =>
(x-x1) / (x2-x1) = (y-y1) / (y2-y1).
Csak a zárójelek megnyitása és az egyenlet összes feltételének bedobása marad one direction, ahhoz, hogy általános kifejezést kapjunk egy két ismert ponton áthaladó egyenes vonalra.
Háromdimenziós probléma esetén a megoldási algoritmus megmarad, csak annak eredménye lesz a síkok két egyenletrendszere.
Feladat
Szükséges egy egyenes egyenlet általános egyenlete, amely metszi az x tengelyt a (-3, 0) pontban, amely párhuzamos az y tengellyel.
Kezdjük megoldani a problémát azáltal, hogy az egyenletet vektoros formában írjuk. Mivel a vonal párhuzamos az ordinátatengellyel, az azt irányító vektor a következő lesz:
u = (0, 1).
Ezután a kívánt sort a következő egyenlettel írjuk:
(x, y) = (-3, 0) + ons*(0, 1).
Most ezt a kifejezést általános formába fordítjuk, ehhez a paramétert fejezzük ki:
- x = -3;
- y = ons.
Így az y változó bármely értéke egyenes vonalhoz tartozik, azonban az x változónak csak egyetlen értéke felel meg. Ezért az általános egyenlet a következő formát ölti:
x + 3 = 0.
Probléma egy egyenes vonallal az űrben
![Egyenes vonal és síkok](https://cdn2.faqukr.com/fimg/obshhee-uravnenie-prjamoj-na-ploskosti-v-prostran_6.webp)
Ismeretes, hogy két metsző síkot a következő egyenletek adnak meg:
- 2 * x + y-z = 0;
- x - 2 * y + 3 = 0.
Meg kell találni annak a vonalnak a vektoregyenletét, amely mentén ezek a síkok metszenek. Kezdjük el.
Amint azt már említettük, a háromdimenziós térben egy egyenes vonal általános egyenletét már két, három ismeretlen rendszer formájában adták meg. Először is meghatározzuk azt a vezető vektort, amely mentén a síkok metszenek. A normál vektor koordinátáinak szorzása a síkokhoz, megkapjuk:
u = [(2, 1, -1)*(1, -2, 0)] = (-2, -1, -5).
Mivel egy vektor negatív számmal való szorzása megváltoztatja az irányát az ellenkezőjére, írhatunk:
u = -1*(-2, -1, -5) = (2, 1, 5).
Egy vonal vektoros kifejezésének megtalálásához a vezető vektor mellett ismernie kell ennek a vonalnak egy pontját. Keresse meg, mivel koordinátáinak meg kell felelniük az egyenletrendszernek a probléma állapotában, akkor megtaláljuk őket. Tegyük fel például x = 0-t, akkor megkapjuk:
y = z;
y = 3/2 = 1,5.
Így a kívánt vonalhoz tartozó pont koordinátákkal rendelkezik:
P = (0, 1, 5, 1, 5).
Ezután megkapjuk a választ erre a problémára, a kívánt vonal vektoregyenletének formája lesz:
(x, y, z) = (0, 1,5, 1,5) + ons(2, 1, 5).
A megoldás helyessége könnyen ellenőrizhető. Ehhez ki kell választania a paraméter tetszőleges értékét, és mindkét sík egyenletében helyettesítenie kell a vonal pont koordinátáit, mindkét esetben megkapja az identitást.