Síkegyenletek. Szög két sík között

A sík egy ponttal és egy egyenessel együtt egy alapvető geometriai elem. A térbeli geometria számos alakja ennek felhasználásával készül. Ebben a cikkben részletesebben megvizsgáljuk azt a kérdést, hogyan lehet szöget találni két sík között.

A koncepció

Mielőtt beszélsz a két sík közötti szögről jól meg kell érteni, hogy a geometria melyik elemét tárgyaljuk. Értsük meg a terminológiát. A sík az űrben lévő pontok végtelen gyűjteménye, összekötve őket, vektorokat kapunk. Ez utóbbi merőleges lesz egy vektorra. Ez általában az úgynevezett normális a síkra.

A fenti ábra egy síkot és két normál vektort mutat rá. Látható, hogy mindkét vektor ugyanazon az egyenes vonalon fekszik. A köztük lévő szög 180^o.

Egyenletek

A két sík közötti szög meghatározható, ha a kérdéses geometriai elem matematikai egyenlete ismert. Számos hasonló egyenlet létezik, amelyek nevét az alábbiakban soroljuk fel:

• általános típus;
• vektor;
• szegmensekben.

Ez a három típus a legkényelmesebb a különféle feladatok megoldása során, ezért ezeket leggyakrabban használják.

Az általános egyenlet így néz ki:

A * x + B * y + C * z + D = 0.

Itt x, y, z egy adott síkhoz tartozó tetszőleges pont koordinátái. Az A, B, C és D paraméterek számok. Az írás ezen formájának kényelme abban rejlik, hogy az A, B, C számok a síkhoz normális vektor koordinátái.

A síkbejegyzés vektorformája a következőképpen ábrázolható:

x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + Avenida*(a₁, b₁, c₁) + Avenida*(a₂, b₂, c₂).

Itt (a₂, b₂, c₂) és (a₁, b₁, c₁)- két koordinátavektor paraméterei, amelyek a vizsgált síkhoz tartoznak. A pont (x₀, y₀, z₀) ebben a síkban is fekszik. A paraméterek és a paraméterek egymástól független és tetszőleges értékeket vehetnek fel.

Végül a sík egyenletét szegmensekben a következő matematikai formában mutatjuk be:

x / p + y / q + z / l = 1.

Itt p, q, l specifikus számok (beleértve a negatívakat is). Ez a fajta egyenlet akkor kényelmes, ha síkot kell ábrázolni egy téglalap alakú koordinátarendszerben, mivel a p, q, l számok a metszéspontokat mutatják a sík x, y és z tengelyével.

Vegye figyelembe, hogy az egyenlet minden típusa egyszerű matematikai műveletek segítségével bármilyen mássá alakítható.

A két sík közötti szög képlete

Most vegye figyelembe a következő árnyalatot. A háromdimenziós térben két sík csak kétféle módon helyezhető el. Metszik vagy párhuzamosak. Két sík között egy szög helyezkedik el a vezető vektoraik között (normál). Metsző, 2 Vektor 2 szöget képez (általános esetben akut és tompa). Mivel a síkok közötti szög akutnak tekinthető. Tekintsük az egyenletet.

A két sík közötti szög képlete a következő:

xhamsteren (/(n)₁* n₂) / / (/n₁| * / n₂¯|)).

Könnyű kitalálni, hogy ez a kifejezés a normál Vektorok skaláris szorzatának közvetlen következménye n₁és n₂a figyelembe vett repülőgépek esetében. A számlálóban a skaláris termék modulusa azt jelzi, hogy a szöget csak 0-tól veszi figyelembe^o hogy 90^o. A nevezőben lévő normál Vektorok moduljainak szorzata a hosszuk szorzatát jelenti.

Vegye figyelembe, hogy ha (n₁* n₂) = 0, akkor a síkok derékszögben metszik egymást.

Példa egy feladatra

Miután kitaláltuk, mi a két sík közötti szög, megoldjuk a következő problémát. Mint például. Tehát ki kell számítani az ilyen síkok közötti szöget:

2 * x - 3 * y + 4 = 0;

(x, y, z) = (2, 0, -1) + (1, 1, -1) + 6, (0, 2, 3).

A probléma megoldásához ismerni kell a síkok vezető vektorait. Az első sík esetében a normál vektor: n₁= (2, -3, 0). A második sík normál vektorának megkereséséhez szorozzuk meg a paraméterek után álló vektorokat. Ennek eredményeként megkapjuk a vektort: n₂= (5, -3, 2).

A szög meghatározásához használja az előző bekezdés képletét. Kapunk:

6 = arccos (|((2, -3, 0)*(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)|*|(5, -3, 2)|)) =

= arccos (19/√(13*38)) = 0,5455 boldog.

A számított szög radiánban 31,26-nak felel meg^o. Így a problémás állapot síkjai 31,26 szögben metszik egymást^o.