Az egyenes és a sík közötti szög kiszámítása. Koordinációs módszer a problémák megoldására

A sztereometria egyik leggyakoribb feladata az egyenes vonalak és síkok metszéspontja, valamint a köztük lévő szögek kiszámítása. Ebben a cikkben részletesebben megvizsgáljuk az úgynevezett koordináta-módszert, valamint az egyenes és a sík közötti szögeket.

Egyenes és sík a geometriában

Mielőtt figyelembe vesszük a koordinátamódszert és az egyenes és a sík közötti szöget, meg kell ismerkednünk a megnevezett geometriai objektumokkal.

Az egyenes olyan pontok gyűjteménye az űrben vagy egy síkban, amelyek mindegyike az előző lineáris átvitelével érhető el egy bizonyos vektorhoz. Ezután ezt a vektort az u szimbólummal jelöljük. Ha ezt a vektort megszorozzuk bármely olyan számmal, amely nem nulla, akkor párhuzamos u vektort kapunk. Az egyenes egy lineáris végtelen objektum.

A sík olyan pontok gyűjteménye is, amelyek úgy vannak elrendezve, hogy ha tetszőleges Vektorok alkotják őket, akkor mindegyik merőleges lesz valamilyen vektorra n. Ez utóbbit hívják normál vagy csak normális. A sík, ellentétben az egyenes vonallal, kétdimenziós végtelen objektum.

Koordináta módszer a geometriai problémák megoldására

Maga a módszer neve alapján megállapítható, hogy a következőkről beszélünk a megoldás módja az analitikus szekvenciális számítások elvégzésén alapuló problémák. Más szavakkal, a koordináta módszer lehetővé teszi a geometriai problémák megoldását univerzális algebra eszközökkel, amelyek fő elemei az egyenletek.

Meg kell jegyezni, hogy a szóban forgó módszer a modern geometria és algebra hajnalán jelent meg. Rene Descartes, Pierre Fermat, Isaac Newton és Leibniz nagyban hozzájárult a fejlődéséhez a XVII-XVIII században.

A módszer lényege a geometriai elemek távolságainak, szögeinek, területeinek és térfogatainak kiszámítása AZ ismert pontok koordinátái alapján. Vegye figyelembe, hogy a kapott végső egyenletek formája a koordinátarendszertől függ. Leggyakrabban egy téglalap alakú derékszögű rendszert használnak a feladatokban, mivel a legkényelmesebb vele dolgozni.

Egyenes egyenlet

A koordináta-módszer és az egyenes és a sík közötti szögek figyelembevétele az egyenes egyenlet beállításával kezdődik. Ott számos módja van a vonalak ábrázolása algebrai formában. Itt csak a vektoregyenletet vesszük figyelembe, mivel bármilyen más forma könnyen megszerezhető belőle, és könnyű vele dolgozni.

Tegyük fel, hogy két pont van: P és Q. Ismeretes, hogy egy egyenes vonalat lehet húzni rajtuk keresztül, és ez lesz az egyetlen. Az elem megfelelő matematikai ábrázolása így néz ki:

(x, y, z) = P + oc * PQ.

Ahol PQ olyan vektor, amelynek koordinátáit a következőképpen kapjuk meg:

PQ = Q-P.

A szimbólum ^ olyan paramétert jelöl, amely abszolút bármilyen számot felvehet.

Az írott kifejezésben megváltoztathatja a vektor irányát, valamint helyettesítheti a Q koordinátáit a P pont helyett. Mindezek az átalakítások nem vezetnek a vonal geometriai helyének megváltozásához.

Ne feledje, hogy a problémák megoldásakor néha szükség van az írott vektoregyenlet explicit (parametrikus) formában történő ábrázolására.

Sík beállítása az űrben

Az egyenes vonal mellett a sík matematikai egyenleteinek számos formája is létezik. Közülük megjegyezzük a vektoregyenletet, a szegmensek egyenletét és az általános formát. Ebben a cikkben különös figyelmet fordítunk az utóbbi formára.

Egy tetszőleges sík általános egyenlete a következőképpen írható:

A * x + B * y + C * z + D = 0.

A Latin nagybetűk bizonyos számok, amelyek meghatározzák a síkot.

Az írás ezen formájának kényelme abban rejlik, hogy kifejezetten tartalmaz egy síkra normális vektort. Ez egyenlő:

n = (A, B, C) .

Ennek a vektornak a ismerete lehetővé teszi, hogy a sík egyenletének rövid áttekintése után ábrázolja az utóbbi helyét a koordinátarendszerben.

A relatív helyzet a térben egy egyenes és egy sík

A cikk következő bekezdésében folytatjuk a koordináta módszer és az egyenes és a sík közötti szög megfontolását. Itt válaszolunk arra a kérdésre, hogy a kérdéses geometriai elemek hogyan helyezhetők el az űrben. Három ilyen mód van:

1. Egy egyenes metszi a síkot. A koordinátamódszer segítségével kiszámítható, hogy egy egyenes és egy sík melyik ponton keresztezi egymást.
2. Az egyenes síkja párhuzamos. Ebben az esetben a geometriai elemek egyenletrendszerének nincs megoldása. A párhuzamosság bizonyítására általában az egyenes vonal vezető vektorának skaláris szorzatának tulajdonságát és a sík normál értékét használják.
3. A sík egyenes vonalat tartalmaz. Az egyenletrendszer megoldása ebben az esetben arra a következtetésre jutunk, hogy a paraméter bármely értéke esetén a megfelelő egyenlőséget kapjuk.

A második és harmadik esetben a megadott geometriai objektumok közötti szög nulla. Az első esetben 0-tól 90-ig terjed^o.

Az egyenes vonalak és síkok közötti szögek kiszámítása

Most menjünk közvetlenül a cikk témájához. Az egyenes és a sík bármely metszéspontja bizonyos szögben történik. Ezt a szöget a legegyenesebb vonal képezi, amelynek vetülete a síkra esik. A vetület akkor érhető el, ha az egyenes bármely pontjáról merőlegesen leeresztünk a síkra, majd egyenes vonalat húzunk át a sík kapott metszéspontján, valamint a sík merőleges és metszéspontján, valamint az eredeti vonalon, amely vetület lesz.

Az egyenes vonalak és síkok közötti szögek kiszámítása nem nehéz feladat. Ennek megoldásához elegendő a megfelelő geometriai objektumok egyenleteinek ismerete. Tegyük fel, hogy ezek az egyenletek így néznek ki:

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + 6 (A, b, c);

A * x + B * y + C * z + D = 0.

A kívánt szög könnyen megtalálható, ha az u and n skaláris Vektorok szorzatának tulajdonságát használja. A végső képlet így néz ki:

6 = arcsin(|(u*n)| / (/u/ * / n|)).

Ez a képlet azt mondja, hogy az egyenes és a sík közötti szög szinusza megegyezik a megjelölt Vektorok skaláris szorzatának modulusának a hosszuk szorzatával. Ahhoz, hogy megértsük, miért jelent meg egy szinusz a koszinusz helyett, forduljunk az alábbi ábrához.

Látható, hogy ha a koszinuszfüggvényt alkalmazzuk, akkor megkapjuk az u és n Vektorok közötti szöget. A kívánt szög (az ábrán látható) a következőképpen alakul:

θ = 90^o - β.

A szinusz a redukciós képletek alkalmazásának eredményeként jelenik meg.

Példa egy feladatra

Térjünk át a megszerzett ismeretek gyakorlati felhasználására. Oldjunk meg egy tipikus problémát a szög között egyenes vonal és sík. A négy pont következő koordinátáit adjuk meg:

P = (1, -1, 0);

Q = (-1, 2, 2);

M = (0, 3, -1) ;

N = (-2, -1, 1).

Ismeretes, hogy egy sík áthalad a PQM pontokon, egy egyenes pedig az MN-en. A koordináta módszer alkalmazásával ki kell számítani a sík és az egyenes közötti szöget.

Először írjuk le az egyenes és a sík egyenleteit. Ez nem nehéz, hogy ez egy egyenes vonal:

MN = (-2, -4, 2) =>

(x, y, z) = (0, 3, -1) + xhamsteren*(-2, -4, 2).

A sík egyenletének elkészítéséhez először megtaláljuk a normálisat. Koordinátái megegyeznek az ebben a síkban fekvő két vektor vektortermékével. Van:

PQ = (-2, 3, 2);

QM = (1, 1, -3) =>

n = [PQ * QM] = (-11, -4, -5).

Most helyettesítjük a benne fekvő bármely pont koordinátáit az Általános sík egyenletébe, hogy megkapjuk a D szabad kifejezés értékét:

P = (1, -1, 0);

- (A * x + B * y + C * z) = D =>

D = - (-11 + 4 + 0) = 7.

A sík egyenletének formája van:

11 * x + 4 * y + 5 * z - 7 = 0.

Továbbra is alkalmazni kell az egyenes vonal és a sík metszéspontjában kialakított szög képletét, hogy megkapja a választ a problémára. Van:

(u * n) = (11, 4, 5)*(-2, -4, 2) = -28;

/ u / = 64. számú; / n / = 162. számú;

ons = arcsin(28/√(162*24)) = 26,68^o.

A probléma példáján bemutattuk, hogyan kell használni a koordináta módszert a geometriai problémák megoldására.