Az egyenes prizma felülete: képletek és egy probléma példája

A térfogat és a felület két fontos jellemzője minden olyan testnek, amelynek véges méretei vannak a háromdimenziós térben. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a poliéderek-prizmák jól ismert osztályát. Különösen az a kérdés merül fel, hogy hogyan lehet megtalálni az egyenes prizma felületét.

Mi az a prizma?

A prizma minden olyan poliéder, amelyet több paralelogramma és két párhuzamos síkban elhelyezkedő azonos sokszög határol. Ezeket a sokszögeket tekintik az ábra alapjainak, paralelogrammái pedig az oldalak. Az alap oldalainak (sarkainak) száma határozza meg az alak nevét. Például az alábbi ábra egy ötszögletű prizmát mutat.

Az alapok közötti távolságot az ábra magasságának nevezzük. Ha a magasság megegyezik bármely oldalsó él hosszával, akkor egy ilyen prizma egyenes lesz. Az egyenes prizma második elegendő tulajdonsága, hogy minden oldala téglalap vagy négyzet. Ha legalább az egyik oldal egy általános forma paralelogramma, akkor az ábra ferde lesz. Az alábbiakban látható, hogy az egyenes és ferde prizmák vizuálisan különböznek a négyszögletes ábrák példáján.

Az egyenes prizma felülete

Ha egy geometriai alaknak n-szögű alapja van, akkor n+2 arcból áll, amelyek közül n téglalap. Jelölje meg az alap oldalainak hosszát az a szimbólummal_i, ahol i = 1,2,...,n, valamint az ábra magassága, amely megegyezik az oldalsó él hosszával, h-t jelöl. Az összes felület felületének meghatározásához össze kell adni az S területet_o az egyes bázisok és az oldalak minden területe (téglalapok). Így az S képlet általános formában a következőképpen írható:

S = 2 * S_o + S_b

Ahol S_b - az oldalfelület területe.

Mivel az egyenes prizma alapja abszolút bármilyen lapos sokszög lehet, lehetetlen egyetlen képletet adni az S kiszámításához_o , ennek az értéknek az általános esetben történő meghatározásához geometriai elemzést kell végezni. Például, ha az alap egy szabályos n-gon az a oldallal, akkor annak területét a következő képlettel kell kiszámítani:

S_o = n/4 * ctg (pi / n) * a²

Ami az S nagyságát illeti_b, a számítás kifejezése megadható. Az egyenes prizma oldalfelületének területe egyenlő:

S_b = h * ons_i=1ⁿ(a_i)

Vagyis az S értéke_b az ábra magasságának szorzataként számítják ki az alap kerülete alapján.

Példa a probléma megoldására

Alkalmazzuk a megszerzett ismereteket a következő geometriai probléma megoldására. Egy prizma van megadva, amelynek alapja a derékszögű háromszög 5 cm-es és 7 cm-es derékszögű oldalakkal. Az ábra magassága 10 cm. Meg kell találni az egyenes háromszög alakú prizma felületét.

Először számítsuk ki a háromszög hipotenuszát. Ez egyenlő lesz:

C = ons(5)² + 7²) = 8,6 lásd

Most tegyünk egy másik előkészítő matematikai műveletet - számítsuk ki az alap kerületét. Ez lesz:

P = 5 + 7 + 8,6 = 20,6 cm

Az ábra oldalfelületének területét a p érték szorzataként számítjuk ki a H = 10 cm magassággal, azaz S_b = 206 cm².

A teljes felület területének megtalálásához két alapterületet kell hozzáadni a talált értékhez. Mivel a derékszögű háromszög területét a lábak termékének fele határozza meg, megkapjuk:

2 * sz_o = 2*5*7/2 = 35 cm²

Aztán megkapjuk, hogy egy egyenes háromszög alakú prizma felülete 35 + 206 = 241 cm².