Az egyenes vonal általános egyenlete egy síkban, az űrben

A geometriában egy pont után az egyenes talán a legegyszerűbb elem. Ezt alkalmazzák az építőiparban a komplex formák a síkban és a háromdimenziós térben. Ebben a cikkben megvizsgáljuk az egyenes általános egyenletét, és megoldunk néhány problémát. Kezdjük el!

Egyenes vonal a geometriában

Mindenki tudja, hogy az olyan alakzatok, mint a téglalap, háromszög, prizma, kocka stb., metsző egyenes vonalakkal vannak kialakítva. A geometria egyenes vonalát egydimenziós objektumnak tekintik, amelyet úgy lehet elérni, hogy egy bizonyos pontot egy azonos vagy ellentétes irányú vektorra továbbítunk. Ennek a meghatározásnak a jobb megértése érdekében képzelje el, hogy van valamilyen P pont az űrben. Vegyünk egy tetszőleges vektort u ebben a térben. Ezután az egyenes bármely Q pontja a következő matematikai műveletek eredményeként érhető el:

Q = P + ons * u.

Itt a ++ egy tetszőleges szám, amely lehet pozitív és negatív. Ha a fenti egyenlőséget koordinátákkal írjuk, akkor a következő egyenletet kapjuk:

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + 6 (A, b, c).

Ezt az egyenlőséget egy egyenes egyenletének nevezzük vektor formában. Az u vektort pedig útmutatónak hívják.

A sík egyenes vonalának általános egyenlete

Minden hallgató nehézségek nélkül képes lesz leírni. De leggyakrabban az egyenlet így van írva:

y = k * x + b.

Ahol k és b tetszőleges számok. A B számot szabad tagnak hívják. A K paraméter megegyezik az egyenes vonalnak az abszcissza tengellyel való metszéspontja által alkotott szög érintőjével.

A fenti egyenletet az y változóhoz viszonyítva fejezzük ki. Ha általánosabb formában jelenik meg, akkor a következő írásformát kapjuk:

A * x + B * y + C = 0.

Nem nehéz megmutatni, hogy az egyenes vonal általános egyenletének ilyen formája egy síkban könnyen átalakítható az előző formába. Ehhez a bal és a jobb részeket el kell osztani a B együtthatóval és Y-t kell kifejezni.

A fenti ábra két ponton áthaladó egyenes vonalat mutat.

Egyenes vonal a háromdimenziós térben

Folytassuk tanulmányunkat. Megvizsgáltuk azt a kérdést, hogy az egyenes egyenlet egy síkon általános formában van megadva. Ha a cikk előző bekezdésében megadott felvételi űrlapot alkalmazzuk a térbeli esetre, mit kapunk? Ez egyszerű - Már nem egyenes, hanem sík. Valójában a következő kifejezés egy síkot ír le, amely párhuzamos a z tengellyel:

A * x + B * y + C = 0.

Ha C=0, akkor egy ilyen sík áthalad a z tengelyen. Ez egy fontos funkció.

Akkor mi a helyzet az egyenes vonal általános egyenletével a térben? Ahhoz, hogy megértsük, hogyan kell megkérdezni, emlékeznie kell valamire. Két sík metszi egy bizonyos egyenes vonal mentén. Mit jelent ez? Csak, hogy a tábornok az egyenlet a síkok két egyenletrendszerének megoldásának eredménye. Írjuk ezt a rendszert:

• A₁* x + B₁* y + C₁* z + D₁= 0;
• A₂* x + B₂* y + C₂* z + D₂= 0.

Ez a rendszer egy egyenes vonal általános egyenlete a térben. Vegye figyelembe, hogy a síkok nem lehetnek párhuzamosak egymással, vagyis normál vektoraiknak bizonyos szögben kell hajlaniuk egymáshoz képest. Ellenkező esetben a rendszernek nincs megoldása.

A fentiekben megadtuk az egyenlet írásának vektor formáját egy egyenes vonalra. Kényelmes használni a rendszer megoldásakor. Ehhez először meg kell találnia ezeknek a síkoknak a normál szorzatát. Ennek a műveletnek az eredménye a vonal vezető vektora lesz. Ezután ki kell számítania az egyenes vonalhoz tartozó bármely pontot. Ehhez meg kell adnia a változók bármelyikét, amely megegyezik egy bizonyos értékkel, a két fennmaradó változó megtalálható a fenti rendszer megoldásával.

Hogyan lehet lefordítani egy vektoros egyenletet egy általánosra? Nuances

Ez egy tényleges probléma, amely akkor merülhet fel, ha egy egyenes általános egyenletét kell írni két pont ismert koordinátáival. Mutassuk meg, hogyan oldja meg ezt a problémát egy példa. Legyen ismert két pont koordinátái:

• P = (x₁, y₁);
• Q = (x₂, y₂).

Az egyenlet vektor formában meglehetősen egyszerű. A vezető vektor koordinátái egyenlőek:

PQ = (x₂-x₁, y₂-y₁).

Vegye figyelembe, hogy nincs különbség, ha a P pont koordinátáit kivonjuk a Q koordinátáiból, a vektor csak az ellenkezőjére változtatja irányát. Most minden pontot meg kell írnunk a vektoros egyenletet:

(x, y) = (x₁, y₁) + ons * (x₂-x₁, y₂-y₁).

Az egyenes általános egyenletének megírásához a paramétert mindkét esetben ki kell fejezni. Ezután egyenlítse ki a kapott eredményeket. Van:

x = x₁+ 6 (x)₂-x₁) => argentinok = (x-x₁) / (x₂-x₁);

y = y₁+ 6 (év)₂-y₁) => onlin = (y-y₁) / (y₂-y₁) =>

(x-x₁) / (x₂-x₁) = (y-y₁) / (y₂-y₁).

Csak a zárójelek megnyitása és az egyenlet összes feltételének bedobása marad one direction, ahhoz, hogy általános kifejezést kapjunk egy két ismert ponton áthaladó egyenes vonalra.

Háromdimenziós probléma esetén a megoldási algoritmus megmarad, csak annak eredménye lesz a síkok két egyenletrendszere.

Feladat

Szükséges egy egyenes egyenlet általános egyenlete, amely metszi az x tengelyt a (-3, 0) pontban, amely párhuzamos az y tengellyel.

Kezdjük megoldani a problémát azáltal, hogy az egyenletet vektoros formában írjuk. Mivel a vonal párhuzamos az ordinátatengellyel, az azt irányító vektor a következő lesz:

u = (0, 1).

Ezután a kívánt sort a következő egyenlettel írjuk:

(x, y) = (-3, 0) + ons*(0, 1).

Most ezt a kifejezést általános formába fordítjuk, ehhez a paramétert fejezzük ki:

• x = -3;
• y = ons.

Így az y változó bármely értéke egyenes vonalhoz tartozik, azonban az x változónak csak egyetlen értéke felel meg. Ezért az általános egyenlet a következő formát ölti:

x + 3 = 0.

Probléma egy egyenes vonallal az űrben

Ismeretes, hogy két metsző síkot a következő egyenletek adnak meg:

• 2 * x + y-z = 0;
• x - 2 * y + 3 = 0.

Meg kell találni annak a vonalnak a vektoregyenletét, amely mentén ezek a síkok metszenek. Kezdjük el.

Amint azt már említettük, a háromdimenziós térben egy egyenes vonal általános egyenletét már két, három ismeretlen rendszer formájában adták meg. Először is meghatározzuk azt a vezető vektort, amely mentén a síkok metszenek. A normál vektor koordinátáinak szorzása a síkokhoz, megkapjuk:

u = [(2, 1, -1)*(1, -2, 0)] = (-2, -1, -5).

Mivel egy vektor negatív számmal való szorzása megváltoztatja az irányát az ellenkezőjére, írhatunk:

u = -1*(-2, -1, -5) = (2, 1, 5).

Egy vonal vektoros kifejezésének megtalálásához a vezető vektor mellett ismernie kell ennek a vonalnak egy pontját. Keresse meg, mivel koordinátáinak meg kell felelniük az egyenletrendszernek a probléma állapotában, akkor megtaláljuk őket. Tegyük fel például x = 0-t, akkor megkapjuk:

y = z;

y = 3/2 = 1,5.

Így a kívánt vonalhoz tartozó pont koordinátákkal rendelkezik:

P = (0, 1, 5, 1, 5).

Ezután megkapjuk a választ erre a problémára, a kívánt vonal vektoregyenletének formája lesz:

(x, y, z) = (0, 1,5, 1,5) + ons(2, 1, 5).

A megoldás helyessége könnyen ellenőrizhető. Ehhez ki kell választania a paraméter tetszőleges értékét, és mindkét sík egyenletében helyettesítenie kell a vonal pont koordinátáit, mindkét esetben megkapja az identitást.