Prizma térfogat képlete. Szabályos négyszög és hatszög alakú térfogat

A prizma egy poliéder vagy poliéder, amelyet a sztereometria iskolai tanfolyamán tanulnak. Ennek a poliédernek az egyik fontos tulajdonsága a térfogata. Nézzük meg a cikkben, Hogyan lehet kiszámítani ezt az értéket, és adjunk képleteket a prizmák térfogatára - rendszeres négyszögletes és hatszögletű.

Prizma a sztereometriában

Ezt az ábrát úgy értjük, mint egy poliédert, amely két azonos, párhuzamos síkokban elhelyezkedő sokszögből, valamint több paralelogrammából áll. Bizonyos típusú Prizmák esetében a paralelogrammok téglalap alakú négyszögeket vagy négyzeteket képviselhetnek. Az alábbiakban egy úgynevezett ötszögletű prizma példája látható.

Építeni egy szám, mint a fenti ábrán, meg kell, hogy egy ötszög, és végezze el a párhuzamos átvitel egy bizonyos távolságot a térben. Két ötszög oldalának paralelogrammákkal történő összekapcsolásával megkapjuk a kívánt prizmát.

Minden prizma arcokból, csúcsokból és élekből áll. A prizma csúcsai, a piramistól eltérően, egyenlőek, mindegyik a két bázis egyikéhez tartozik. Kétféle arc és él létezik: azok, amelyek az alapokhoz tartoznak, és azok, amelyek az oldalakhoz tartoznak.

A prizmák többféle típusúak (szabályos, ferde, konvex, egyenes, konkáv). A cikkben tovább vizsgáljuk, hogy melyik képlet alapján számítjuk ki a prizma térfogatát, figyelembe véve az ábra alakját.

Általános kifejezés a prizma térfogatának meghatározására

Függetlenül attól, hogy a vizsgált ábra melyik típushoz tartozik, legyen az egyenes vagy ferde, , helyes vagy helytelen, van egy univerzális kifejezés, amely lehetővé teszi a hangerő meghatározását. A térbeli alak térfogatát az arcai közé zárt térterületnek nevezzük. A prizma térfogatának általános képlete így néz ki:

V = S_o × h.

Itt S_o az alap területét képviseli. Emlékeztetni kell arra, hogy pontosan egy Alapítványról beszélünk, nem kettőről. A H értéke a magasság. A vizsgált ábra magassága az azonos bázisok közötti távolság. Ha ez a távolság egybeesik az oldalsó élek hosszával, akkor egyenes prizmáról beszélnek. Egyenes alakban az összes oldal téglalap.

Így, ha a prizma ferde, szabálytalan sokszög van az alapon, akkor a térfogatának kiszámítása bonyolultabbá válik. Ha az ábra egyenes, akkor a térfogat kiszámítása csak a bázis területének meghatározására csökken_o.

A helyes ábra térfogatának meghatározása

Minden prizma, amely egyenes és sokszögű bázissal rendelkezik, egyenlő oldalakkal és szögekkel, helyesnek nevezzük. Például az ilyen szabályos sokszögek négyzetek és egyenlő oldalú háromszögek. Ugyanakkor a rombusz nem helyes alak, mivel nem minden szöge egyenlő egymással.

A prizma térfogatának képlete helyes egyértelműen a V általános kifejezéséből következik, amelyet a cikk előző bekezdésében írtak. Mielőtt elkezdené írni a megfelelő képletet, meg kell határozni a megfelelő bázis területét. Anélkül, hogy matematikai részletekbe mennénk, itt van a képlet a megadott terület meghatározására. Bármely szabályos n-gon esetében univerzális, a következő formában van:

S_n = n / 4 db CTG (pi / n) CTG (CTG) CTG (CTG) a².

Amint az a kifejezésből látható, az S terület_n - két paraméter függvénye. Az N egész szám értékeket vehet fel 3-tól a végtelenig. Az a érték az n-gon oldalának hossza.

Az ábra térfogatának kiszámításához csak a S területet kell megszoroznia_n H magasság vagy a B oldalél hossza szerint (h=b). Ennek eredményeként a következő működő képlethez jutunk:

V = n / 4 db CTG (pi / n) 6 a² × h.

Ne feledje, hogy egy tetszőleges típusú prizma térfogatának meghatározásához több mennyiséget kell ismerni (az alap oldalainak hossza, magassága, az ábra dihedrális szögei), a szabályos prizma V értékének kiszámításához csak két lineáris paramétert kell ismernünk, például a és h.

A prizma térfogata négyszögletes szabályos

A négyszögletes prizmát parallelepipednek nevezik. Ha minden arca egyenlő és négyzeteket képvisel, akkor egy ilyen alak kocka lesz. Minden hallgató tudja, hogy egy téglalap alakú párhuzamos cső vagy kocka térfogatát úgy határozzuk meg, hogy megszorozzuk annak három különböző oldalát (hosszúság magasság és szélesség). Ez a tény a helyes számra vonatkozó rögzített általános térfogat-kifejezésből következik:

V = n / 4 db CTG (pi / n) 6 a² o = 4/4 o = CTG (pi / 4) o = CTG² 6 = a² × h.

Itt a cotangent tól től 45 ons jelentése 1. Vegye figyelembe, hogy a H magasság egyenlősége és az a alap oldalának hossza automatikusan a kocka térfogatának képletéhez vezet.

A hatszögletű szabályos prizma térfogata

Most alkalmazzuk a fent vázolt elméletet, hogy meghatározzuk a hatszögletű bázisú alak térfogatát. Ehhez csak cserélje ki az N = 6 értéket a képletben:

V = 6/4 kb (pi / 6) 6 a² Avenida h = 3 6. számú √3/2 ons^{Az 2} × h.

az írásbeli kifejezés önállóan szerezhető be az S univerzális képletének használata nélkül_n. Ehhez meg kell osztani egy szabályos hatszöget hat egyenlő oldalú háromszögre. Mindegyik oldala egyenlő lesz a. Egy háromszög területe megfelel:

S₃ = √3/4 ons².

Ezt az értéket megszorozzuk a háromszögek számával (6) és a magassággal, megkapjuk a fenti kötet képletét.