Heron képlete, vagy hogyan lehet megtalálni a háromszög területét három oldalon

A háromszög a síkon zárt legegyszerűbb alak, amely csak három összekapcsolt szegmensből áll. A geometriai problémákban gyakran meg kell határozni ennek az ábrának a területét. Mi ezt tudnia kell? A cikkben válaszolunk arra a kérdésre, hogy hogyan találjuk meg a háromszög területét három oldalon.

Általános képlet

Minden hallgató tudja, hogy a háromszög területét bármelyik oldalának hosszának szorzataként számítják ki - a A magasság felével-h, a kiválasztott oldalra engedve. A megfelelő képletet az alábbiakban adjuk meg: S = a * h / 2.

Ez a kifejezés akkor használható, ha legalább két oldal és a köztük lévő szög értéke ismert. Ebben az esetben a H magasság könnyen kiszámítható trigonometrikus függvények, például szinusz segítségével. De nem mindenki tudja, hogyan találhat meg egy területet a háromszög három oldalán.

Heron Formula

Ez a képlet a válasz arra a kérdésre, hogy hogyan lehet megtalálni a háromszög területét három oldalon. Mielőtt leírnánk, egy tetszőleges alak szegmenseinek hosszát jelöljük a, b és c. Heron képlete a következőképpen van írva: S = (p*(p-a)*(p-b)*(p-c)).

Ahol p az ábra félperimétere, Vagyis: p = (a + b + c)/2.

A látszólagos terjedelem ellenére az S terület adott kifejezése könnyen megjegyezhető. Ehhez először számolja ki a háromszög fél méterét, majd vonja le az ábra egyik oldalát egy hosszúság mentén, szorozza meg az összes kapott különbséget, valamint magát a fél métert. A végén vegye be a termék négyzetgyökét.

Ezt a képletet Alexandriai Heronról nevezték el, aki korunk elején élt. A Modern történelem úgy véli, hogy ez a filozófus használta először ezt a kifejezést a megfelelő számítások elvégzésére. Ezt a képletet munkájában teszik közzé "Metrikus", amely a korunk 60. évéből származik. Ne feledje, hogy Archimedes néhány műve, aki két évszázaddal Heron előtt élt, olyan jeleket tartalmaz, amelyek szerint a görög filozófus már ismerte a képletet. Ezen kívül, hogyan lehet megtalálni a háromszög területét, ismerve a három oldalt, az ősi kínai is tudta.

Fontos megjegyezni, hogy a feladat megoldható anélkül, hogy tudnánk a Heron formula létezéséről. Ehhez rajzoljon egy pár magasságot a háromszögbe, és használja az előző bekezdés általános képletét, elkészítve a megfelelő egyenletrendszert.

Heron kifejezése felhasználható tetszőleges sokszögek területeinek kiszámítására, először háromszögekre osztva, majd a kapott Átlók hosszának kiszámításával.

Példa a probléma megoldására

Tudva, hogyan lehet megtalálni a háromszög területét három oldalról, megszilárdítjuk a megszerzett tudást a következő probléma megoldásával. Hagyja, hogy az ábra oldala 5 cm, 4 cm és 3 cm legyen. Meg kell találnunk egy területet.

A háromszög három oldala ismert, így használhatja Heron képletét. Kiszámítjuk a fél méteres és a szükséges különbségeket, van:

• p = (a + b + c) / 2 = 6 cm;
• p-a = 1 cm;
• p-b = 2 cm;
• p-c = 3 cm.

Aztán megkapjuk a területet: S = (p*(p-a)*(p-b) * (p-c)) = √(6*1*2*3) = 6 lásd².

A problémaállapotban megadott háromszög téglalap alakú, amelyet nem nehéz ellenőrizni, ha a Pitagorasz-tételt használjuk. Mivel egy ilyen háromszög területe megegyezik a lábak termékének felével, megkapjuk: S = 4 * 3/2 = 6 cm².

A kapott érték egybeesik a Heron képlettel, ami megerősíti az utóbbi érvényességét.