Mi ez-közvetlen prizma? Tulajdonságok és képletek. Példa egy feladatra

A sztereometria a háromdimenziós geometriai alakzatok jellemzőit vizsgálja. A geometriai problémákban megjelenő egyik jól ismert háromdimenziós ábra egy egyenes prizma. Nézzük meg ebben a cikkben, hogy mi az, valamint részletesen írja le a háromszög alakú prizmát.

Prizma és típusai

A prizma olyan alakot jelent, amely a sokszög térben történő párhuzamos átvitelének eredményeként alakul ki. Ennek a geometriai műveletnek az eredményeként egy ábra alakul ki, amely több paralelogrammából és két azonos sokszögből áll egymással párhuzamosan. A paralelogrammok a prizma oldalai, a sokszögek pedig az alapjai.

Bármely prizmának n+2 oldala, 3 * n éle és 2 * n csúcsa van, ahol n a sokszögű alap sarkainak vagy oldalainak száma. A képen egy ötszögletű prizma látható, amely 7 oldalból, 10 csúcsból és 15 élből áll.

A vizsgált számok osztályát többféle prizma képviseli. Soroljuk fel őket röviden:

• konkáv és konvex;
• ferde és egyenes;
• rossz és helyes.

Minden szám a felsorolt három osztályozási típus egyikéhez tartozik. A geometriai problémák megoldásakor a legegyszerűbb elvégezni számítások helyes és egyenes prizmák. Az utóbbit részletesebben megvizsgáljuk a cikk következő bekezdéseiben.

Mi ez-egyenes prizma?

Az egyenes vonalat konkávnak vagy konvexnek nevezzük, rendszeres vagy szabálytalan prizma, amelyben az összes oldalt négyszögek képviselik, szöge 90^. Ha az oldalak legalább egy négyszöge nem téglalap vagy négyzet, akkor a prizmát ferdenek nevezzük. Megadhat egy másik meghatározást is: az egyenes prizma ennek az osztálynak az alakja, amelyben bármely oldalsó él megegyezik a magassággal. A prizma h magassága alatt feltételezzük a bázisok közötti távolságot.

A közvetlen prizma mindkét fenti meghatározása egyenlő és önellátó. Ebből következik, hogy a bázisok és mindkét oldal közötti összes dihedrális szög egyenlő 90 xhamsterrel.

A fentiekben azt mondták, hogy a problémák megoldása során kényelmes egyenes számokkal dolgozni. Ez annak köszönhető, hogy a magasság egybeesik az oldalsó él hosszával. Ez utóbbi tény megkönnyíti az ábra térfogatának és az oldalfelület területének kiszámítását.

Az egyenes prizma térfogata

A térfogat bármely térbeli alakra jellemző mennyiség, amely numerikusan tükrözi a vizsgált tárgy felületei között bezárt tér egy részét. A prizma térfogata a következő általános képlettel számítható ki:

V = S_o* h.

Vagyis a magasság szorzata az alap területével megadja a kívánt értéket V. Mivel az egyenes prizma alapjai egyenlőek, akkor_{ezek közül bármelyik lehet használni, hogy meghatározza a terület S} o.

A fenti képlet kifejezetten egyenes prizmához való alkalmazásának előnye a többi típushoz képest az, hogy nagyon könnyű megtalálni az ábra magasságát, mivel egybeesik az oldalsó él hosszával.

Oldalfelület

Kényelmes kiszámítani nemcsak a szóban forgó osztály egyenes alakjának térfogatát, hanem annak oldalfelületét is. Valójában bármelyik oldala téglalap vagy négyzet. Minden hallgató tudja, hogyan kell kiszámítani ezeknek a lapos alakoknak a területét, ezért a szomszédos oldalakat meg kell szorozni egymással.

Tegyük fel, hogy a prizma alján egy tetszőleges n-gon található, amelynek oldalai egyenlőek a_i. Az I index az 1-től n-ig terjedő értékeken halad át. Egy téglalap területét a következőképpen kell kiszámítani:

S_i = a_i* h.

Az S oldal felülete_b nem nehéz kiszámítani, ha összeadjuk az összes területen S_i téglalapok. Ebben az esetben megkapjuk az S végső képletét_b egyenes prizma:

S_b = h*∑_i=1ⁿ(a_i) = h * P_o.

Így az egyenes prizma oldalfelületének meghatározásához meg kell szorozni annak magasságát egy alap kerületével.

A háromszög alakú prizma problémája

Tegyük fel, hogy egyenes prizma van megadva. Alapozás - derékszögű háromszög. A háromszög lábai 12 cm és 8 cm. Az ábra térfogatát és teljes területét ki kell számítani, ha a prizma magassága 15 cm.

Először számítsuk ki az egyenes prizma térfogatát. Az alapjain elhelyezkedő háromszög (téglalap alakú) területe:

S_o = a₁* a₂/2 = 12 * 8/2 = 48 cm².

Mint sejteni lehet, a₁ és a₂ ebben az egyenlőségben katéták vannak. Ismerve a terület a bázis és a magasság (lásd. a probléma állapota), használhatja a v képletet:

V = S_o* h = 48 * 15 = 720 cm³.

Az ábra teljes területét két rész alkotja: az alapok és az oldalfelület területei. A két bázis területe egyenlő:

S_2o = 2 * S_o = 48 * 2 = 96 cm².

Az oldalsó felület területének kiszámításához meg kell ismerni a derékszögű háromszög kerületét. A Pitagorasz-tétel alapján kiszámítjuk az a hipotenuszát₃, van:

a₃ = √(a₁² + a₂²) = √(12² + 8²) = 14,42 lásd.

Ezután az egyenes prizma alapjának háromszögének kerülete lesz:

P = a₁ + a₂ + a₃ = 12 + 8 + 14,42 = 34,42 cm.

Az S képlet alkalmazása_b, ez volt írva az előző bekezdésben, megkapjuk:

S_b = h * P = 15*34,42 = 516,3 cm.

A terület összeadása S_2o és S_b, megkapjuk a vizsgált geometriai alak teljes felületét:

S = S_2o + S_b = 96 + 516,3 = 612,3 cm².

A speciális típusú üvegből készült háromszög alakú prizmát az optikában használják a fénykibocsátó tárgyak spektrumának tanulmányozása során. Az ilyen prizmák a diszperzió jelensége miatt képesek a fényt komponens frekvenciákra bontani.