Hogyan találjuk meg a mátrixok termékét. Mátrix szorzás. A mátrixok skaláris terméke. Három mátrix terméke

Különböző számítási műveletek hajthatók végre mátrixokkal (táblázatok numerikus elemekkel). Az egyik egy szám, egy vektor, egy másik mátrix, több mátrix szorzása. A munka néha helytelennek bizonyul. A hibás eredmény a számítási műveletek végrehajtására vonatkozó szabályok tudatlanságának eredménye. Kitaláljuk, hogyan kell szaporodni.

Mátrix és szám

Kezdjük a legegyszerűbbel-szorozzuk meg a táblázatot számokkal egy adott értékkel. Például van egy mátrixunk a elemekkel a_ij (i a sorszámok és j az oszlopszámok) és az e szám. A mátrix szorzata az e számmal a B mátrix lesz a B elemekkel_ij, amelyeket a képlet talál:

b_ij = e .. a_ij.

T. e. a B elem megszerzéséhez₁₁ meg kell venni az elemet a₁₁ szorozzuk meg a kívánt számmal, hogy b-t kapjunk₁₂ meg kell találni az a elem termékét₁₂ mind az e, mind a t számok. d.

Oldjuk meg a képen látható 1. problémát. A B mátrix megszerzéséhez egyszerűen szorozza meg az A elemeit 3-mal:

1. a₁₁ × 3 = 18. Ezt az értéket a B mátrixba írják azon a helyen, ahol az 1. oszlop és az 1. sor található.
2. a_{21 intersect} × 3 = 15. Megvan a b elem₂₁.
3. a₁₂ × 3 = –6. Megvan a b elem₁₂. A B mátrixba írjuk azon a helyen, ahol a # 2 oszlop és az # 1 sor található.
4. a_{22 intersect} × 3 = 9. Ez az eredmény a B elem₂₂.
5. a₁₃ × 3 = 12. Ezt a számot a B elem helyett a mátrixba kell beírni₁₃.
6. a₂₃ × 3 = –3. Az utolsó kapott szám a B elem₂₃.

Így kapott egy téglalap alakú tömböt numerikus elemekkel.

Vektorok és a mátrixok termékének létezésének feltétele

A matematikai tudományágakban létezik olyan dolog, mint egy "vektor". . Ez a kifejezés egy megrendelt mennyiségkészletre utal a₁ a_n. Ezek az úgynevezett vektor tér koordináták vannak írva, mint egy oszlop. Van még az "átültetett vektor"kifejezés. Összetevői a következőkben találhatók mint egy húr.

A vektorokat mátrixoknak lehet nevezni:

• az oszlopvektor egyetlen oszlopból felépített mátrix;
• a sorvektor olyan mátrix, amely csak egy sort tartalmaz.

A mátrixokon végzett szorzási műveletek végrehajtásakor fontos megjegyezni, hogy a termék létezésének feltétele van. Az A B számítási művelet csak akkor hajtható végre, ha az a táblázat oszlopainak száma megegyezik a B táblázat sorainak számával. A számítás eredményeként kapott végső mátrix mindig tartalmazza az a táblázat sorainak számát, valamint a B táblázat oszlopainak számát.

Szorzáskor nem ajánlott a mátrixok (szorzók)átrendezése. Termékük általában nem felel meg a szorzás kommutatív (transzlációs) törvényének,. azaz. az a művelet eredménye B nem egyenlő a B művelet eredményével. Ezt a funkciót a mátrixok termékének nem kommutativitásának nevezik. Bizonyos esetekben az a szorzás eredménye B B egyenlő a B szorzás eredményével a,. azaz. a termék kommutatív. Mátrixok, amelyre az egyenlőség A (B) B (B) = B (B) A (D) teljesül, ezeket permutációknak nevezzük. Az ilyen táblázatok példái az alábbiakban találhatók.

Szorzás oszlopvektorral

Amikor a mátrixot oszlopvektorral megszorozzuk, figyelembe kell vennünk a termék létezésének állapotát. A táblázat oszlopainak (n) számának meg kell egyeznie a koordináták számával, amelyekből a vektor áll. A számítás eredménye egy transzformált vektor. A koordináták száma megegyezik a táblázat sorainak számával (m) .

Hogyan számítják ki az y vektor koordinátáit, ha van egy a mátrix és egy x vektor? Képleteket hoztak létre a számításokhoz:

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n,

y₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n,

......................................,

y_m = a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n,

ahol x₁, ..., x_n az x-vektor koordinátái, m a mátrix sorainak száma és az új y-vektor koordinátáinak száma, n A mátrix oszlopainak száma és az x–vektor koordinátáinak száma, a₁₁, a₁₂, ..., a_mn a mátrix elemei A.

Így az új vektor i-edik komponensének megszerzéséhez skaláris terméket hajtunk végre. Az i-edik sorvektort az a mátrixból vesszük, és megszorozzuk a meglévő x vektorral.

Oldjuk meg a 2. problémát. A mátrix szorzata a vektor által megtalálható, mert A-NAK 3 oszlopa van, x pedig 3 koordinátából áll. Ennek eredményeként egy oszlopvektort kell kapnunk 4 koordinátával. Használjuk a fenti képleteket:

1. Számolja y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). A teljes érték 2.
2. Számolja y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (-4). A számítás során 0-t kapunk.
3. Számolja y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Ezen szorzók termékeinek összege 6.
4. Számolja y₄. (-1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (-4). A koordináta -8.

Egy vektor húr szorzása egy mátrixszal

Lehetetlen szorozni egy több oszlopból álló mátrixot egy sorvektorral. Ilyen esetekben a munka létezésének feltétele nem teljesül. De lehetséges egy vektor karakterlánc mátrixszal történő szorzása. Ezt a számítási műveletet akkor hajtják végre, ha a vektorban lévő koordináták száma és a táblázat sorainak száma egyezik. A vektor mátrix általi szorzatának eredménye egy új vektor húr. A koordináták számának meg kell egyeznie a mátrix oszlopainak számával.

Az új vektor első koordinátájának kiszámítása azt jelenti, hogy megszorozzuk a vektor sort és az első vektor oszlopot a táblázatból. A második koordinátát hasonló módon számítjuk ki, de az első oszlopvektor helyett a második oszlopvektort vesszük. Itt van a koordináták kiszámításának általános képlete:

y_k = a_1kx₁ + a_2kx₂ + ... + a_mkx_m,

ahol y_k az Y vektor koordinátája (k az 1-től n-ig terjedő tartományban van), m a mátrix sorainak száma és az X vektor koordinátáinak száma, n A mátrix oszlopainak száma és az Y vektor koordinátáinak száma, a alfanumerikus indexekkel az a mátrix elemei.

A téglalap alakú mátrixok terméke

Ez a számítási művelet bonyolultnak tűnhet. A szorzás azonban könnyen elvégezhető. Kezdjük a definícióval. Az m sorokkal és n oszlopokkal rendelkező a mátrix, valamint az n sorokkal és p oszlopokkal rendelkező B mátrix szorzata egy C mátrix m sorokkal és p oszlopokkal, amelyekben a C elem_ij az A. táblázat i-edik sorának és a B. táblázat J-edik oszlopának elemeinek szorzatának összege. Egyszerűbben fogalmazva, a C elem_ij az a táblázatból származó i-edik sorvektor skaláris szorzata, a B táblázatból származó j-edik oszlopvektor pedig.

Most kitaláljuk a gyakorlatban, hogyan lehet megtalálni a téglalap alakú mátrixok termékét. Oldjuk meg a 3. számú problémát erre. A mű létezésének feltétele teljesül. Kezdjük a C elemeinek kiszámítását_ij:

1. A C mátrix 2 sorból és 3 oszlopból áll.
2. Számítsa ki a c elemet₁₁. Ehhez az a mátrixból az 1. sor skaláris szorzatát, a B mátrixból pedig az 1. oszlopot hajtjuk végre. c₁₁ = 0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1 = 16. Ezután ugyanúgy folytatjuk, csak sorokat, oszlopokat változtatunk (az elem indexétől függően).
3. c₁₂ = 12.
4. c₁₃ = 9.
5. c₂₁ = 31.
6. c₂₂ = 18.
7. c₂₃ = 36.

Az elemeket kiszámítják. Most már csak a kapott számok téglalap alakú blokkja marad.

Három mátrix szorzása: az elméleti rész

Meg lehet találni a három mátrix termékét? Ez a számítási művelet megvalósítható. Az eredmény elérhető többféle módon. Például 3 négyzet alakú asztal van (azonos sorrendben) – A, B és C. A termék kiszámításához:

1. Először szorozzuk meg az A-t és a B-t. , majd szorozza meg az eredményt C-vel.
2. Először keresse meg a B és C termékét. Ezután szorozzuk meg az a Mátrixot a kapott eredménnyel.

Ha meg kell szorozni a téglalap alakú mátrixokat, akkor először meg kell győződnie arról, hogy ez a számítási művelet lehetséges. Kell, hogy legyen termék a (B) és B (C).

A lépésenkénti szorzás nem hiba. Van olyan dolog, mint a "mátrix szorzás asszociativitása". Ez a kifejezés egyenlőséget jelent (a) B) C = A (B)C = A (B) C).

Három mátrix szorzása: gyakorlat

Négyzet mátrixok

Kezdjük a kis négyzet alakú mátrixok szorzásával. Az alábbi ábra a 4. feladatot mutatja, amelyet meg kell oldanunk.

Az asszociativitás tulajdonságot fogjuk használni. Szorozzuk meg először A és B, vagy B és C. Csak egy dologra emlékszünk: nem lehet átrendezni a szorzókat,. azaz. nem lehet szorozni B A vagy C B. Ezzel a szorzással hibás eredményt kapunk.

A döntés folyamata.

Első Lépés. A teljes termék megtalálásához először szorozza meg a-T B-vel. Két mátrix szorzásakor a fent vázolt szabályok vezérelnek minket. Tehát az A és B szorzásának eredménye egy D mátrix lesz, 2 sorral és 2 oszlopmal,. azaz. a téglalap alakú tömb 4 elemet tartalmaz. Megtaláljuk őket a számítás elvégzésével:

• d₁₁ = 0 × 1 + 5 × 6 = 30;
• d₁₂ = 0 × 4 + 5 × 2 = 10;
• d₂₁ = 3 × 1 + 2 × 6 = 15;
• d₂₂ = 3 × 4 + 2 × 2 = 16.

A közbenső eredmény készen áll.

Második Lépés. Most szorozzuk meg a D mátrixot a C mátrixszal. Az eredménynek egy négyzet alakú g mátrixnak kell lennie, 2 sorral és 2 oszloppal. Számítsa ki az elemeket:

• g₁₁ = 30 × 8 + 10 × 1 = 250;
• g₁₂ = 30 × 5 + 10 × 3 = 180;
• g₂₁ = 15 × 8 + 16 × 1 = 136;
• g₂₂ = 15 × 5 + 16 × 3 = 123.

Így a négyzetmátrixok szorzatának eredménye egy G táblázat számított elemekkel.

Négyszögletes mátrixok

Az alábbi ábra az 5. feladatot mutatja. Meg kell szorozni a téglalap alakú mátrixokat és megoldást találni.

Ellenőrizzük, hogy teljesül - e az A-B és B-C-termékek létezésének feltétele. Ezeknek a mátrixoknak a sorrendje lehetővé teszi a szorzás végrehajtását. Kezdjük megoldani a problémát.

A döntés folyamata.

Első Lépés. Szorozzuk meg B - T C-vel, hogy D-t kapjunk. A B mátrix 3 sort és 4 oszlopot, a C mátrix pedig 4 sort és 2 oszlopot tartalmaz. Ez azt jelenti, hogy egy D mátrixot kapunk 3 sorral és 2 oszloppal. Számítsa ki az elemeket. Íme 2 példa a számításokra:

• d₁₁ = 3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1 = 0;
• d₁₂ = 3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6 = 7.

Továbbra is megoldjuk a problémát. A további számítások eredményeként megtaláljuk a d értékeit₂₁, d₂₂, d₃₁ és d₃₂. Ezek az elemek 0, 19, 1, illetve 11. Írjuk a talált értékeket egy téglalap alakú tömbbe.

Második Lépés. Szorozzuk meg a-T D-vel, hogy megkapjuk az F végső mátrixot. 2 sor és 2 oszlop lesz. Számítsa ki az elemeket:

• f₁₁ = 2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1 = 1;
• f₁₂ = 2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11 = 139;
• f₂₁ = 0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1 = 3;
• f₂₂ = 0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11 = 52.

Készítsünk egy téglalap alakú tömböt, amely a három mátrix szorzásának végeredménye.

Bevezetés a közvetlen munkába

A mátrixok Kronecker terméke meglehetősen nehezen érthető anyag. További neve is van-közvetlen munka. Mit jelent ez a kifejezés? Tegyük fel, hogy van egy a táblázatunk az m (n) és egy B táblázatunk a (p) (q) sorrendben. A mátrix közvetlen szorzata a mátrix által B egy sorrendű mátrix mp ++ nq.

Van 2 négyzet mátrixok A, B, amelyek a képen látható. Az első 2 oszlopból és 2 sorból áll, a második pedig 3 oszlopból és 3 sorból áll. Látjuk, hogy a közvetlen termékből származó mátrix 6 sorból és pontosan ugyanannyi oszlopból áll.

Hogyan számítják ki az új mátrix elemeit egy közvetlen termékkel? Nagyon könnyű megtalálni a választ erre a kérdésre, ha elemzi a rajzot. Először töltse ki az első sort. Vegyük az első elemet az a táblázat felső sorából, majd szorozzuk meg egymás után a B táblázat első sorának elemeivel. Ezután vegyük az a táblázat első sorának második elemét, majd egymás után szorozzuk meg a B táblázat első sorának elemeivel. A második sor kitöltéséhez vegye újra az a táblázat első sorának első elemét, majd szorozza meg a B táblázat második sorának elemeivel.

A közvetlen termék által kapott mátrixot blokkmátrixnak nevezzük. Ha újra elemezzük a rajzot, láthatjuk, hogy eredményünk 4 blokkból áll. Mindegyik tartalmazza a B mátrix elemeit. Ezenkívül az egyes blokkok elemét megszorozzuk az a Mátrix egy meghatározott elemével. Az első blokkban az összes elemet megszorozzuk a₁₁, a második – a₁₂, a harmadik – a₂₁, a negyedik – a₂₂.

A termék meghatározója

A mátrixszorzás témájának mérlegelésekor érdemes figyelembe venni egy olyan kifejezést is, mint "a mátrixok termékének meghatározója". Mi a meghatározó? Ez egy fontos a négyzetmátrix jellemzője, egy bizonyos érték, amelyet ennek a mátrixnak megfelelően helyeznek el. A determináns betűjelölése det.

A két oszlopból és két sorból álló a mátrix esetében a determináns könnyen megtalálható. Van egy kis képlet, amely az egyes elemek termékeinek különbségét képviseli:

det A = a₁₁ × a₂₂ - a₁₂ × a₂₁.

Tekintsünk egy példát a másodrendű táblázat determinánsának kiszámítására. Van egy a mátrix, amelyben a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 5 és a₂₂ = 1. A determináns kiszámításához a képletet használjuk:

det A = 2 × 1 – 3 × 5 = 2 – 15 = -13.

Mert 3 6. számú mátrixok, a determinánst egy összetettebb képlet segítségével számítjuk ki. Az alábbiakban bemutatjuk az a mátrixot:

det A = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁a₃₃.

A képlet memorizálásához a háromszög szabályával jöttek létre, amelyet a képen szemléltetünk. Először a fő átló elemeit megszorozzuk. A kapott értékhez hozzáadjuk azoknak az elemeknek a termékeit, amelyeket a piros oldalú háromszögek szögei jeleznek. , akkor kivonjuk az oldalsó átló elemeinek szorzatát, majd kivonjuk azoknak az elemeknek a termékeit, amelyeket a kék oldalú háromszögek szögei jelölnek.

Most beszéljünk a mátrixok termékének meghatározójáról. Van egy tétel, amely szerint ez a mutató megegyezik a szorzótáblák meghatározóinak szorzatával. Lássuk ezt egy példával. Van egy mátrixunk a elemekkel₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 és a₂₂ = 1 és B mátrix b elemekkel₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 és b₂₂ = 2. Megtaláljuk az A és B mátrixok determinánsait, az a szorzatot, az A B szorzatot és ennek a szorzatnak a determinánsát.

A döntés folyamata.

Első Lépés. Számítsuk ki az a determinánsát: det A = 2 × 1 – 3 × 1 = -1. Ezután kiszámítjuk a B determinánsát: det B = 4 × 2 – 5 × 1 = 3.

Második Lépés. Keresse meg az a szorzatot B. Az új mátrixot C betű jelöli. Számítsuk ki annak elemeit:

• c₁₁ = 2 × 4 + 3 × 1 = 11;
• c₁₂ = 2 × 5 + 3 × 2 = 16;
• c₂₁ = 1 × 4 + 1 × 1 = 5;
• c₂₂ = 1 × 5 + 1 × 2 = 7.

Harmadik Lépés. Számítsuk ki a C determinánsát: det C = 11 × 7 – 16 × 5 = -3. Hasonlítsuk össze azzal az értékkel, amelyet az eredeti mátrixok determinánsainak szorzásával lehet elérni. A számok ugyanazok. A fenti tétel igaz.

A munka rangja

A mátrix rangja olyan jellemző, amely tükrözi a lineárisan független sorok vagy oszlopok maximális számát. A rang kiszámításához a mátrix elemi transzformációit hajtjuk végre:

• két párhuzamos sor átrendezése;
• egy bizonyos sor összes elemének szorzása a táblázatból egy nullával nem egyenlő számmal;
• elemek hozzáadása egy másik sorból szorozva egy adott számmal az egyik sor elemeihez.

Az elemi transzformációk után megvizsgálják a nem nulla sorok számát. Számuk a mátrix rangja. Tekintsük az előző példát. 2 mátrixot mutatott be: a elemekkel a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 és a₂₂ = 1 és B A b elemekkel₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 és b₂₂ = 2. A szorzás eredményeként kapott C mátrixot is felhasználjuk. Ha elemi átalakításokat hajtunk végre, akkor az egyszerűsített mátrixokban nem lesz nulla sor. Ez azt jelenti, hogy mind az a táblázat rangja, mind a B táblázat rangja, mind a C táblázat rangja egyenlő 2-vel.

Most különös figyelmet fordítunk a mátrixok termékének rangjára. Van egy tétel, amely kimondja, hogy a numerikus elemeket tartalmazó táblázatok szorzatának rangja nem haladja meg a tényezők rangsorát. Ez bizonyítható. Legyen A K méretű mátrix s és B S méretű mátrix m. A és B szorzata egyenlő C-vel.

Vizsgáljuk meg a fent bemutatott ábrát. Megmutatja a C mátrix első oszlopát és annak egyszerűsített bejegyzését. Ez az oszlop az a mátrixban szereplő oszlopok lineáris kombinációja. Ugyanez mondható el a C téglalap alakú tömb bármely más oszlopáról. Így a C táblázat oszlopvektorai által alkotott altér az a táblázat oszlopvektorai által alkotott altérben létezik. Emiatt az 1. altér dimenziója nem haladja meg a 2. altér dimenzióját. Ebből következik, hogy a C táblázat oszlopainak rangja nem haladja meg az a táblázat oszlopainak rangját,. azaz. R(C) xhamsterl (a). Ha hasonló módon gondolkodunk, akkor megbizonyosodhatunk arról, hogy a C mátrix sorai a B mátrix sorainak lineáris kombinációi. Ez magában foglalja az R (C)egyenlőtlenséget r(b).

A mátrixok termékének megtalálása meglehetősen bonyolult téma. Könnyen elsajátítható, de egy ilyen eredmény eléréséhez sok időt kell töltenie az összes meglévő szabály és tétel memorizálásával.