Mátrixok: a gauss-módszer. A mátrix kiszámítása gauss módszerrel: példák

A lineáris algebra, amelyet az egyetemeken különböző szakterületeken tanítanak, számos összetett témát ötvöz. Néhány közülük mátrixokhoz kapcsolódik, valamint a lineáris egyenletrendszerek Gauss és Gauss-Jordan módszerekkel történő megoldásával. Nem minden diák képes megérteni ezeket a témákat, algoritmusokat a különböző problémák megoldására. Találjuk ki együtt Gauss és Gauss – Jordan mátrixait és módszereit.

Alapfogalmak

A lineáris algebra mátrixa az elemek téglalap alakú tömbjére utal (táblázat). Az alábbiakban a zárójelbe zárt elemkészletek találhatók. Ezek a mátrixok. A megadott példából látható, hogy a téglalap alakú tömbök elemei nem csak számok. A mátrix matematikai függvényekből, algebrai szimbólumokból állhat.

Néhány fogalom megértése érdekében készítsünk egy a mátrixot az a elemekből_ij. Az indexek nem csak betűk: i a táblázat sorszáma, j pedig az oszlop száma, amelynek metszéspontjában az a elem_{ij található}. Tehát látjuk, hogy van egy mátrixunk olyan elemekből, mint a₁₁, a₂₁, a₁₂, a₂₂ , stb. . Az n betű az oszlopok számát, az m betű pedig a sorok számát jelöli. A szimbólum m ++ n a mátrix dimenzióját jelöli. Ez az a koncepció, amely meghatározza a sorok és oszlopok számát egy téglalap alakú elemtömbben.

Adott esetben a mátrixnak több oszlopot és sort kell tartalmaznia. Dimenziójával 1 ^ n, az elemek tömbje egysoros, dimenziója pedig m 6, egyoszlopos. Ha a Sorok száma és az oszlopok száma megegyezik, a mátrixot négyzetnek nevezzük. Minden négyzetmátrixnak van egy determináns (det A). Ez a kifejezés olyan számra utal, amelyet az a mátrixnak megfelelően helyeznek el.

Néhány fontosabb fogalom, amelyet meg kell emlékezni a mátrixok sikeres megoldására, az, hogy a fő és az oldalsó Átlók. A mátrix fő átlója az átló, amely a bal felső sarokból az asztal jobb sarkába esik. Az oldalsó átló a jobb saroktól felfelé halad a bal saroktól alulról.

A mátrix lépésnézete

Vessen egy pillantást az alábbi képre. Rajta látni fog egy Mátrixot és egy diagramot. Először foglalkozzunk a Mátrixszal. A lineáris algebrában egy ilyen mátrixot lépcsős mátrixnak nevezünk. Van egy tulajdonsága: ha a_ij az első nem nulla elem az i-edik sorban, majd a mátrix összes többi eleme az a alatt és bal oldalán áll_ij, null (. azaz. minden olyan elem, amely az a betűjelzést kaphatja_kl, ahol k>én és l

Most fontolja meg a rendszert. Ez tükrözi a mátrix lépcsős alakját. Az ábra 3 típusú cellát mutat. Minden típus bizonyos elemeket jelöl:

• az üres cellák a mátrix nulla elemei;
• az árnyékolt cellák tetszőleges elemek, amelyek lehetnek null vagy nem nulla;
• a fekete négyzetek nem nulla elemek, amelyeket sarokelemeknek, "lépéseknek" neveznek (a mellettük bemutatott mátrixban ilyen elemek a -1, 5, 3, 8 számok).

A mátrixok megoldásakor néha ilyen eredményt kapunk, ha a lépés "hossza" több mint 1. Ez megengedett. Csak a lépcsők" magassága " fontos. Lépésenkénti mátrixban ennek a paraméternek mindig egyenlőnek kell lennie.

A mátrix csökkentése lépcsős formára

Bármely téglalap alakú mátrix fokozatosan alakítható át. Ez az elemi átalakításoknak köszönhető. Ezek közé tartozik:

• sorok átrendezése helyeken;
• egy sor hozzáadása egy sorhoz, szükség esetén szorozva egy számmal (kivonási műveletet is végrehajthat).

Tekintsük az elemi átalakításokat egy adott probléma megoldásában. Az alábbi ábra az a mátrixot mutatja, amelyet lépésről lépésre kell hozni.

A probléma megoldása érdekében kövessük az algoritmust:

• Kényelmes transzformációkat végrehajtani egy ilyen mátrixon, amelyben az első elem a bal felső sarokban (. azaz. a "vezető" elem) egyenlő 1 vagy -1. Esetünkben a felső sor első eleme 2, tehát cseréljük az első és a második sort.
• Hajtsuk végre a kivonási műveleteket a 2., 3. és 4. sor megérintésével. Nullákat kell kapnunk az első oszlopban a "vezető" elem alatt. Ennek az eredménynek az elérése érdekében: a 2. sor elemeiből egymás után kivonjuk az 1. sor elemeit, szorozva 2-vel; a 3. sor elemeiből egymás után kivonjuk az 1. sor elemeit, szorozva 4-gyel; a 4. sor elemeiből egymás után kivonjuk az 1. sor elemeit.
• Ezután egy rövidített mátrixszal fogunk dolgozni (az 1. oszlop nélkül és az 1. sor nélkül). Az új" vezető " elem a második oszlop metszéspontjában áll, a második sor pedig -1. Nincs szükség a sorok átrendezésére, ezért változtatás nélkül átírjuk az első oszlopot, az első és a második sort. Végezzünk kivonási műveleteket, hogy nullákat kapjunk a második oszlopban a "vezető" elem alatt: a harmadik sor elemeiből egymás után kivonjuk a második sor elemeit, szorozva 3-mal; a negyedik sor elemeiből egymás után kivonjuk a második sor elemeit, szorozva 2-vel.
• Az utolsó sort meg kell változtatni. Elemeiből egymás után kivonjuk a harmadik sor elemeit. Így kaptunk egy lépés mátrixot.

A mátrixok lépésenkénti redukcióját a lineáris egyenletrendszerek (SLA) Gauss-módszerrel történő megoldására használják. Mielőtt megvizsgálnánk ezt a módszert, értsük meg a.

Lineáris egyenletrendszerek és mátrixok

A mátrixokat különböző tudományokban használják. A számtáblák használatával lehetséges például a Gauss-módszerrel egy rendszerbe kombinált lineáris egyenletek megoldása. Először is, ismerkedjünk meg több kifejezéssel és meghatározásukkal, valamint nézzük meg, hogyan alakul ki egy mátrix egy olyan rendszerből, amely több lineáris egyenletet kombinál.

SLU – számos kombinált algebrai egyenlet, amelyekben az első fokozatban ismeretlenek vannak, és nincsenek olyan kifejezések, amelyek az ismeretlenek szorzatát képviselik.

Az SLU megoldása az ismeretlenek talált értékei, amelyek helyettesítésével a rendszer egyenletei identitásokká válnak.

A közös SLA olyan egyenletrendszer, amelynek legalább egy megoldása van.

Az inkompatibilis SL olyan egyenletrendszer, amelynek nincs megoldása.

Hogyan állítják össze a lineáris egyenleteket kombináló rendszeren alapuló mátrixot?? Vannak olyan fogalmak, mint a rendszer alapvető és kiterjesztett mátrixai. A rendszer fő mátrixának megszerzéséhez az összes együtthatót ismeretlen táblázatba kell helyezni. egyeseket. A kibővített mátrixot kapjuk csatolással szabad kifejezések oszlopa a fő mátrixhoz (olyan ismert elemeket tartalmaz, amelyekhez az egyes egyenletek egyenlőek a rendszerben). Az alábbi kép tanulmányozásával megértheti ezt az egész folyamatot.

Az első dolog, amit a képen látunk, egy olyan rendszer, amely lineáris egyenleteket tartalmaz. Elemei: a_ij - numerikus együtthatók, x_j - ismeretlen mennyiségek, b_i - szabad Feltételek (ahol i = 1, 2,..., m, és j = 1, 2,..., n). A kép második eleme az együtthatók fő mátrixa. Minden egyenletből az együtthatókat a vonalra írják. Ennek eredményeként annyi sor van a mátrixban, ahány egyenlet van a rendszerben. Az oszlopok száma megegyezik az egyenlet legnagyobb együtthatóinak számával. A kép harmadik eleme egy kiterjesztett mátrix, szabad kifejezések oszlopával.

Általános információk a Gauss-módszerről

Ban ben lineáris algebra, a Gauss-módszer a klasszikus módszer a. Karl Friedrich Gauss nevét viseli, aki a XVIII–XIX. században élt. Ő az egyik legnagyobb matematikus minden idők. A Gauss-módszer lényege, hogy elemi transzformációkat hajtson végre lineáris algebrai egyenletek rendszerén. Transzformációk segítségével az SL egy háromszög alakú (lépcsőzetes) forma ekvivalens rendszerére redukálódik, amelyből minden változó megtalálható.

Érdemes megjegyezni, hogy Karl Friedrich Gauss nem a klasszikus felfedezője megoldási módszer lineáris egyenletek rendszere. A módszert sokkal korábban találták ki. Az első leírás ez megtalálható az ókori kínai matematikusok tudásának enciklopédiájában, az úgynevezett "matematika 9 könyvben".

Példa az SLA Gauss-módszerrel történő megoldására

Vegyünk egy konkrét példát a rendszerek Gauss-módszerrel történő megoldására. A képen látható SLU-val fogunk dolgozni.

Megoldás algoritmus:

1. A Gauss-módszer közvetlen folyamán a rendszert fokozatosan alakítjuk ki, de először a numerikus együtthatók és a szabad kifejezések kibővített mátrixát készítjük.
2. A mátrix Gauss-módszerrel történő megoldása (. azaz. ahhoz, hogy lépésenkénti formába hozzuk), egymás után kivonjuk az első sor elemeit a második és a harmadik sor elemeiből. Az első oszlopban nullákat kapunk a" vezető " elem alatt. Ezután kicseréljük a második és a harmadik sort a kényelem. Az utolsó sor elemeihez egymás után hozzáadjuk a második sor elemeit, szorozva 3-mal.
3. A mátrix Gauss-módszerrel történő kiszámításának eredményeként egy lépcsős tömböt kaptunk. Ennek alapján létrehozunk egy új lineáris egyenletrendszert. A Gauss-módszer fordított irányával megtaláljuk az ismeretlen kifejezések értékeit. Az utolsó lineáris egyenletből látható, hogy_x3 egyenlő 1. Ezt az értéket helyettesítjük a rendszer második sorában. Megkapjuk az X egyenletet₂ – 4 = -4. Ebből következik, hogy_x2 az 0. Helyettesítjük x₂ és x₃ a rendszer első egyenletébe: x₁ + 0 +3 = 2. Az ismeretlen kifejezés -1.

Válasz: a mátrix, a Gauss-módszer segítségével megtaláltuk az ismeretlenek értékeit; x₁ = -1, x₂ = 0, x₃ = 1.

A Gauss-Jordan módszer

A lineáris algebrában létezik olyan dolog is, mint a Gauss-Jordan módszer. A Gauss-módszer módosításának tekintik, és az inverz mátrix megtalálására használják, az algebrai lineáris egyenletek négyzetrendszereinek ismeretlen kifejezéseinek kiszámítására. A Gauss-Jordan módszer kényelmes, mert lehetővé teszi a probléma megoldását egy lépésben (előre-hátra mozdulatok használata nélkül).

Kezdjük az "inverz mátrix"kifejezéssel. Tegyük fel, hogy van egy mátrixunk A. Az a mátrix 1 lesz az inverz^-, , és a feltétel szükségszerűen teljesül: a A^-1 = A^-1 Argentinok A = E, t. e. , ezeknek a mátrixoknak a szorzata megegyezik az egységmátrixmal (az egységmátrixban a fő átló elemei egységek, a fennmaradó elemek pedig nulla).

Fontos árnyalat: a lineáris algebrában van egy tétel az inverz mátrix létezéséről. Az a mátrix létezésének elégséges és szükséges feltétele^-1 az a mátrix nem degenerációja. Nem degeneráció esetén a Det a (determináns) nem nulla.

A Gauss–Jordan módszer alapjául szolgáló fő lépések:

1. Vessen egy pillantást egy adott mátrix első sorára. A Gauss-Jordan módszer akkor alkalmazható, ha az első érték nem nulla. Ha a 0 az első helyen van, akkor cserélje ki a sorokat úgy, hogy az első elem értéke nulla legyen (kívánatos, hogy a szám közelebb legyen az egyikhez).
2. Ossza el az első sor összes elemét az első számmal. Kapsz egy karakterláncot, amely egyvel kezdődik.
3. A második sorból vonja le az első sort szorozva a második sor első elemével,. azaz. a végén kap egy sort, amely nulláról indul. Ugyanezt tegye a többi sorral is. Annak érdekében, hogy átlósan kapjon egységeket, ossza meg az egyes sorokat az első nem nulla elemével.
4. Ennek eredményeként megkapja a felső háromszög mátrixot a Gauss-Jordan módszerrel. Ebben a fő átlót egységek képviselik. Az alsó sarok nullákkal van kitöltve, a felső sarok pedig különböző értékekkel van kitöltve.
5. Az utolsó előtti sorból vonja le az utolsó sort szorozva a kívánt együtthatóval. Egy karakterláncot kell kapnia nullákkal és egy. Ismételje meg ugyanazt a műveletet a fennmaradó sorokra. Az összes transzformáció után egyetlen mátrixot kapunk.

Példa az inverz mátrix Gauss – Jordan módszerrel történő megtalálására

Az inverz mátrix kiszámításához meg kell írni a kiterjesztett A / E mátrixot, és végre kell hajtani a szükséges átalakításokat. Vegyünk egy egyszerű példát. Az alábbi ábra az a mátrixot mutatja.

Határozat:

1. Először is megtaláljuk a mátrix determinánsát a Gauss-módszerrel (det A). Ha ez a paraméter nem nulla, akkor a mátrix nem degeneráltnak tekinthető. Ez arra enged következtetni, hogy a-nak pontosan van egy^-1. A determináns kiszámításához a mátrixot elemi transzformációkkal fokozatosan alakítjuk át. Számoljuk meg a K számot, amely megegyezik a karakterlánc-permutációk számával. Csak a vonalakat cseréltük 1 idő. Számítsa ki a determinánst. Értéke megegyezik a fő átló elemeinek szorzatával (-1)^K. Számítási eredmény: det a = 2.
2. Készítsünk egy kibővített mátrixot egy egységmátrix hozzáadásával az eredeti mátrixhoz. A kapott elemtömböt felhasználjuk az inverz mátrix Gauss – Jordan módszerrel történő megkeresésére.
3. Az első sor első eleme egyenlő egy. Elégedettek vagyunk. . ezzel, mert nincs szükség átrendezni a sorokat, és osztja ezt a sort néhány szám. Elkezdünk dolgozni a második és a harmadik sorral. Annak érdekében, hogy a második sor első eleme 0-ra váljon, kivonjuk az első sort 3-mal szorozva a második sorból. A harmadik sorból kivonjuk az elsőt (szorzás nem szükséges).
4. A kapott mátrixban a második sor második eleme -4, a harmadik sor második eleme -1. Cserélje ki a vonalakat a kényelem érdekében. A harmadik sorból kivonjuk a második sort szorozva 4-gyel. A második sort -1-gyel osztjuk, a harmadikat pedig 2-vel. Megkapjuk a felső háromszög mátrixot.
5. A második sorból kivonjuk az utolsó sort szorozva 4-gyel, az első sorból-az utolsó sort szorozva 5-tel. Ezután kivonjuk az első sorból a második sort szorozva 2-vel. A bal oldalon megkaptuk az egység mátrixát. A jobb oldalon az inverz mátrix található.

Példa az SLU Gauss-Jordan módszerrel történő megoldására

Az ábra a lineáris egyenletek rendszerét mutatja. Meg kell találni az ismeretlen változók értékeit mátrix segítségével, a Gauss-Jordan módszerrel.

Megoldás:

1. Készítsünk egy kiterjesztett mátrixot. Ehhez az együtthatókat és a szabad kifejezéseket a táblázatba helyezzük.
2. Oldjuk meg a Mátrixot a Gauss-Jordan módszerrel. A 2. sorból kivonjuk az 1. sort. A 3. sorból kivonjuk az 1. sort, amelyet korábban megszoroztunk 2-vel.
3. Swap vonalak # 2 és 3.
4. A 3. sorból kivonjuk a 2. sort szorozva 2-vel. Osszuk el a kapott harmadik sort -1-gyel.
5. A 2. sorból kivonjuk a 3. sort.
6. Az 1. sorból kivonjuk a 2. sort szorozva -1-gyel. Az oldalon van egy oszlop, amely a 0, 1 és -1 számjegyekből áll. Ebből arra következtetünk, hogy x₁ = 0, x₂ = 1 és x₃ = -1.

Kívánt esetben ellenőrizheti a megoldás helyességét úgy, hogy a számított értékeket az egyenletekbe helyettesíti:

• 0 – 1 = -1, a rendszer első identitása helyes;
• 0 + 1 + (-1) = 0, a rendszer második identitása helyes;
• 0 – 1 + (-1) = -2, a rendszer harmadik identitása igaz.

Következtetés: a Gauss-Jordan módszerrel megtaláltuk a lineáris algebrai egyenleteket kombináló kvadratikus rendszer helyes megoldását.

Online Számológépek

Az egyetemeken tanuló modern fiatalok élete sokkal egyszerűbbé vált. Néhány évvel ezelőtt a Gauss és a Gauss – Jordan módszert használó rendszerek megoldására volt szükség. Néhány diák sikeresen megbirkózott a feladatokkal, míg mások összezavarodtak a megoldásban, hibákat követtek el, segítséget kértek az osztálytársaktól. Ma, akkor az online számológépek, ha csinál házi feladatot. A lineáris egyenletrendszerek megoldására, az inverz mátrixok keresésére olyan programokat írtak, amelyek nemcsak a helyes válaszokat mutatják be, hanem egy adott probléma megoldásának előrehaladását is mutatják.

Számos erőforrás található az Interneten beépített online számológépekkel. Mátrixok a Gauss-módszerrel, az egyenletrendszereket ezek a programok néhány másodperc alatt megoldják. A hallgatóknak csak a szükséges paramétereket kell megadniuk (például az egyenletek számát, a változók számát).