Black-scholes formula: meghatározás, kutatási módszerek és számítási példa

Történelem és lényeg

Az olyan piackutatók és szakemberek, mint Louis Bachelier, Shin Kassouf és Ed Thorpe által korábban kidolgozott munka alapján, Fischer Black és Miron Scholes az 1960-as évek végén bizonyították, hogy a dinamikus Portfólió-felülvizsgálat kiküszöböli a biztonság várható megtérülését.

1970-ben, miután megpróbálták alkalmazni a képletet a piacokon, és pénzügyi veszteségeket szenvedtek el a szakmájuk kockázatkezelésének hiánya miatt, úgy döntöttek, hogy a saját területükre, az akadémiai környezetre összpontosítanak. Három év erőfeszítés után a kihirdetésükről elnevezett képletet végül 1973-ban tették közzé a Journal of Political Economy "Pricing Options and Corporate kötelezettségek" című cikkében. Róbert. Merton volt az első, hogy közzé egy cikket bővülő matematikai megértése az opciók árképzési modell megalkotta a "Black-Scholes árképzési modell".

Munkájukért Merton és Scholes megkapta az 1997-es közgazdasági Nobel-emlékdíjat, a Bizottság arra hivatkozva, hogy felfedezték a kockázatmentes dinamikus felülvizsgálatot, mint áttörést, amely elválasztja az opciót az alapvető biztonság kockázatától. Annak ellenére, hogy 1995-ben bekövetkezett halála miatt nem kapta meg a díjat, a svéd akadémikus megemlítette a fekete résztvevőt. Az alábbi képen látható egy tipikus Black-Scholes számítási képlet.

Opciók

Ennek a modellnek a fő gondolata az opció fedezése az alapul szolgáló eszköz helyes megvásárlásával és eladásával, ennek eredményeként a kockázat kiküszöbölésével. Ez a típus a biztonsági háló az úgynevezett "folyamatosan frissített delta fedezeti". Ez a bonyolultabb stratégiák alapja, mint például a befektetési bankok és a fedezeti alapok.

Kockázatkezelés

A modell feltételezéseit számos irányban enyhítették és általánosították, ami számos olyan modellhez vezetett, amelyeket jelenleg a származékos árazásban és a kockázatkezelésben használnak. A modell megértése, amint azt a Black-Scholes képlet mutatja, amelyet a piaci szereplők gyakran használnak, szemben a tényleges árakkal. Ez az információ magában foglalja az arbitrázs határok hiányát és a kockázatmentes árazást (a folyamatos felülvizsgálat miatt). Ezenkívül a Black-Scholes-egyenlet, egy részleges differenciálegyenlet, amely meghatározza az opció árát, lehetővé teszi az árak numerikus módszerekkel történő meghatározását, ha kifejezett képlet nem lehetséges.

Volatilitás

A Black-Scholes képletnek csak egy paramétere van, amelyet nem lehet közvetlenül megfigyelni a piacon: az alapul szolgáló eszköz átlagos jövőbeli volatilitása, bár más opciók árán is megtalálható. Mivel a paraméter értéke (akár "put", akár "call") növekszik ebben a paraméterben, megfordítható, hogy "volatilitási felületet" kapjon, amelyet ezután más modellek, például OTC származékok kalibrálására használnak.

Ezeket a feltételezéseket szem előtt tartva tegyük fel, hogy a származékos értékpapírokkal ezen a piacon is kereskednek. Jelezzük, hogy ennek az értékpapírnak a jövőben egy bizonyos napon bizonyos kifizetése lesz, attól függően, hogy az állomány milyen értéket fogadott el ezen időpont előtt. Meglepő módon a származékos termék ára jelenleg teljesen meg van határozva, bár nem tudjuk, hogy a részvényárfolyam milyen módon fog menni a jövőben.

Egy európai különleges eset "hívás" vagy "put opció" Black és Scholes kimutatták, hogy lehetséges egy fedezett pozíció létrehozása, amely egy részvény hosszú pozíciójából és egy opció rövid pozíciójából áll, amelynek értéke nem függ a részvény árától. Dinamikus fedezeti stratégiájuk egy parciális differenciálegyenlethez vezetett, amely meghatározta az opció árát. Megoldását a Black-Scholes képlet adja.

A kifejezések különbsége

Az excel Black-Scholes képlete az első felosztással értelmezhető "a hívás opció" a két bináris opció különbségébe. "Vételi opció" tőzsdék készpénz egy eszköz lejáratakor, míg egy call eszköz eszközzel vagy anélkül egyszerűen ad egy eszközt (készpénz nélkül cserébe), és "egy hívás" készpénz nélküli elszámolással egyszerűen visszaadja a pénzt (Eszközcsere nélkül). Az opció Black-Scholes képlete két kifejezés különbsége, és ez a két kifejezés megegyezik a bináris hívási opciók értékével. Ezeket a bináris opciókat sokkal ritkábban értékesítik, mint a vanília opciókat, de könnyebben elemezhetők.

A gyakorlatban egyes érzékenységi értékeket általában rövidítve adnak meg, hogy megfeleljenek a valószínű paraméterváltozások skálájának. Például a rho - t gyakran 10000-rel (1 bázisponttal történő változás), a vega-t 100-mal (1 volumenponttal történő változás), a theta-t pedig 365-tel vagy 252-vel (1 napos csökkenés naptári napok vagy éves kereskedési napok alapján).

A fent leírt modell kiterjeszthető változó (de determinisztikus) árfolyamokra és volatilitásra. A modell felhasználható az osztalékfizetési eszközök európai opcióinak értékelésére is. Ebben az esetben zárt formájú megoldások állnak rendelkezésre, ha az osztalék a részvényár ismert aránya. Az ismert készpénz osztalékot fizető amerikai opciókat és részvényopciókat (rövid távon reálisabb, mint az arányos osztalék) nehezebb értékelni, és a megoldási módszerek választása (például rácsok és rácsok).

Közelítés

Hasznos közelítés: bár a volatilitás nem állandó, a modell eredményei gyakran segítenek a megfelelő arányú fedezet kialakításában a kockázat minimalizálása érdekében. Még akkor is, ha az eredmények nem teljesen pontosak, első közelítésként szolgálnak, amelyhez kiigazításokat lehet végezni.

A fejlettebb modellek alapja: a Black-Scholes modell robusztus abban az értelemben, hogy beállítható, hogy megbirkózzon néhány hibájával. ahelyett, hogy bizonyos paramétereket (például volatilitást vagy kamatlábakat) állandónak tekintenénk, változóként kezeljük őket, és így kockázati forrásokat adunk hozzá.

Ez tükröződik a görögökben (a változtatási lehetőség értékének megváltoztatása ezek a paraméterek vagy egyenértékű ezeknek a változóknak a részleges deriváltjaival), és ezeknek a görögöknek a fedezése csökkenti a paraméterek nem állandó jellege által okozott kockázatot. Az egyéb hibákat azonban nem lehet kiküszöbölni a modell megváltoztatásával, különösen a kisebb kockázatot és a likviditási kockázatot, ehelyett a modellen kívül kezelik őket, elsősorban e kockázatok és a stressztesztek minimalizálásával.

Explicit modellezés

Explicit modellezés: ez a függvény azt jelenti, hogy a volatilitás feltételezése és az árak kiszámítása helyett egy modellt használhat a volatilitás meghatározására, amely megadja az opció implikált volatilitását meghatározott árakon, feltételeken és végrehajtási árakon. Megoldásával volatilitás egy bizonyos sor sztrájk időtartama és az árak, lehetséges, hogy létrejöjjön egy felület implikált volatilitás.

A Black-Scholes modell ezen alkalmazásában a koordináták átalakulását kapjuk az árrégióból a volatilitási régióba. Ahelyett, hogy az opciós árakat egységenként dollárban határoznák meg (amelyeket nehéz összehasonlítani a sztrájkok, a kuponok időtartama és gyakorisága alapján), az opciós árakat az implikált volatilitás szempontjából lehet meghatározni, ami kereskedési volatilitáshoz vezet az opciós piacokon.