Geometriai alakú prizma. A térfogat és a terület tulajdonságai, típusai, képletei. Szabályos háromszög alakú prizma

Az űrben lévő geometriai alakzatok a sztereometria tanulmányozásának tárgyát képezik, amelyet a hallgatók a középiskolában vesznek részt. Ez a cikk egy olyan tökéletes poliéderre vonatkozik, mint egy prizma. Vessünk egy közelebbi pillantást a prizma tulajdonságaira, és adjunk képleteket, amelyek kvantitatív leírásra szolgálnak.

Mi ez-egy prizma?

Mindenki elképzeli, hogy néz ki egy párhuzamos cső vagy kocka. Mindkét szám prizma. A prizmák osztálya azonban sokkal változatosabb. Ennek az ábrának a geometriájában a következő definíciót adjuk meg: a prizma minden olyan poliéder a térben, amelyet két párhuzamos és azonos sokszögű oldal és több paralelogramma alkot. Az ábra azonos párhuzamos felületeit bázisoknak nevezzük (felső és alsó). A paralelogrammok az ábra oldalfelületei, amelyek összekötik az alap oldalait egymással.

Ha az alapot n-gon jelöli, ahol n egész szám, akkor az ábra 2 + n arcból, 2 * n csúcsból és 3 * n élből áll. Az arcok és élek kétféle típusba tartoznak: vagy az oldalfelülethez vagy az alapokhoz tartoznak. Ami a csúcsokat illeti, mind egyenlőek, mind a prizma alapjaihoz tartoznak.

A vizsgált osztály figuráinak típusai

A prizma tulajdonságainak tanulmányozása során fel kell sorolni az ábra lehetséges típusait:

• Konvex és konkáv. A különbség közöttük a sokszögű alap alakjában rejlik. Ha konkáv, akkor háromdimenziós alak is lesz, és fordítva.
• Egyenes és ferde. Egyenes prizmában az oldalsó felületeket téglalapok vagy négyzetek képviselik. Ferde alakban az oldalsó felületek általános típusú paralelogrammok vagy rombuszok.
• Rossz és helyes. Annak érdekében, hogy a vizsgált ábra helyes legyen, egyenesnek kell lennie, megfelelő alapokkal kell rendelkeznie. Az utóbbira példa az olyan lapos formák, mint egy egyenlő oldalú háromszög vagy négyzet.

A prizma neve a felsorolt osztályozás figyelembevételével alakul ki. Például a fent említett derékszögű párhuzamos csövet vagy egy kockát nevezzük szabályos négyszögletes prism. A helyes prizmák magas szimmetriájuk miatt kényelmesek tanulmányozni. Tulajdonságaikat specifikus matematikai képletek formájában fejezik ki.

Prizma terület

Ha figyelembe vesszük a prizma ilyen tulajdonságát, mint területét, akkor az összes arcának teljes területét értjük. A legegyszerűbb elképzelni ezt az értéket, ha az ábrát söpörjük, vagyis az összes arcot egy síkba bontjuk. Az alábbi ábra például két prizma söpörését mutatja.

Tetszőleges prizma esetén a sweep területének általános formájára vonatkozó képlet a következőképpen írható:

S = 2 * S_o + b * P_sr.

Magyarázzuk el a jelölést. Az S érték_o - az egyik alap területe, b az oldalsó él hossza, P - a szelet kerülete, amely merőleges az ábra oldalsó paralelogrammáira.

Az írott képletet gyakran használják a ferde prizmák területeinek meghatározására. Helyes prizma esetén az S kifejezés konkrét formát ölt:

S = n/2 * a²* ctg(pi / n) + n * b * a .

A kifejezés első kifejezése a szabályos prizma két alapjának területét jelenti, a második kifejezés az oldalsó téglalapok területe. Itt a A szabályos oldalának hossza n-gon. Vegye figyelembe, hogy a szabályos prizma B oldalélének hossza szintén a magassága h, tehát a képletben b helyettesíthető h.

Hogyan lehet kiszámítani az ábra térfogatát?

A prizma egy viszonylag egyszerű poliéder, nagy szimmetriával. Ezért a térfogat meghatározásához nagyon egyszerű képlet van. A következő formában van:

V = S_o* h.

Az alapterület és a magasság kiszámítása nehéz lehet, ha ferde szabálytalan alakot veszünk figyelembe. Ezt a problémát szekvenciális geometriai elemzéssel oldják meg, amely információkat tartalmaz az oldalsó paralelogrammok és az alap közötti dihedrális szögekről.

Ha a prizma helyes, akkor a v képlet nagyon specifikus formát ölt:

V = n/4 * a²* ctg (pi / n) * h.

Mint látható, a terület S térfogat v egy helyes prizma egyedileg határozható meg, ha két lineáris paramétere ismert.

A prizma háromszög alakú és szabályos

A cikket a háromszög alakú prizma tulajdonságainak figyelembevételével zárjuk le. Öt arc alkotja, amelyek közül három téglalap (négyzet), kettő egyenlő oldalú háromszög. A prizmának hat csúcsa és kilenc éle van. Ehhez a prizmához a térfogat és a felület képletei az alábbiak:

S₃ = 3/2*a² + 3 * h * a

V₃ = 6/4*a²* h.

Ezen tulajdonságok mellett hasznos az ábra alapjának apofémájának képletét is megadni, amely a H magasság_{a egy} egyenlő oldalú háromszög:

h_a = 3/2*a.

A prizma oldalai azonos téglalapok. A D átlóik hossza egyenlő:

d = (a)² + h²).

A háromszög alakú prizma geometriai tulajdonságainak ismerete nemcsak elméleti, hanem gyakorlati szempontból is érdekes. Az a tény, hogy ezt az optikai üvegből készült ábrát a testek sugárzási spektrumának tanulmányozására használják.

Az üvegprizmán áthaladva a fény a diszperzió jelenségének eredményeként számos alkotó színre bomlik, ami feltételeket teremt az elektromágneses fluxus spektrális összetételének tanulmányozásához.